Cálculo de límites con indeterminaciones

**a) $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\text{tg } x}$** Primero, evaluamos el límite para ver si presenta alguna indeterminación: - La base: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. - El exponente: $\lim_{x \to 0^+} \text{tg } x = 0$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$\infty^0$**. Para resolverla, utilizaremos logaritmos naturales, llamando $L$ al valor del límite: $$L = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\text{tg } x} \implies \ln L = \lim_{x \to 0^+} \ln \left[ \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\text{tg } x} \right]$$ Aplicando las propiedades de los logaritmos ($\ln a^b = b \ln a$): $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \text{tg } x \cdot \ln \left( \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0^+} \text{tg } x \cdot \ln(x^{-2}) = \lim_{x \to 0^+} -2 \cdot \text{tg } x \cdot \ln x.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver límites con potencias variables $f(x)^{g(x)}$ que dan $\infty^0$, $0^0$ o $1^\infty$, lo más útil es aplicar logaritmos para bajar el exponente.

El límite resultante es del tipo $0 \cdot (-\infty)$. Para aplicar la regla de L'Hôpital, debemos reescribirlo como un cociente: $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln x}{\frac{1}{\text{tg } x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln x}{\text{cotg } x}.$$ Ahora tenemos una indeterminación del tipo **$\frac{\infty}{\infty}$**. Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(-2 \ln x)' = -\frac{2}{x}$. - Derivada del denominador: $(\text{cotg } x)' = -\frac{1}{\text{sen}^2 x}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{2}{x}}{-\frac{1}{\text{sen}^2 x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \text{sen}^2 x}{x}.$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ es $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe.

El límite $\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \text{sen}^2 x}{x}$ sigue siendo del tipo $\frac{0}{0}$. Podemos aplicar L'Hôpital de nuevo o usar límites notables: $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} 2 \cdot \frac{\text{sen } x}{x} \cdot \text{sen } x.$$ Como sabemos que $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x} = 1$: $$\ln L = 2 \cdot 1 \cdot \text{sen}(0) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0.$$ Si $\ln L = 0$, entonces despejamos $L$ usando la base del logaritmo natural: $$L = e^0 = 1.$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\text{tg } x} = 1}$$

**b) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - 1}{4x} \right)^x$** Evaluamos el límite en el infinito: - La base: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 1}{4x} = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{4x}) = 1$. - El exponente: $\lim_{x \to \infty} x = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para límites de la forma $\lim f(x)^{g(x)} = 1^\infty$, se puede aplicar directamente la fórmula $e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$.

Aplicamos la propiedad para resolver la indeterminación $1^\infty$: $$L = e^{\lim_{x \to \infty} x \cdot \left( \frac{4x - 1}{4x} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del exponente: $$\frac{4x - 1}{4x} - 1 = \frac{4x - 1 - 4x}{4x} = -\frac{1}{4x}.$$ Entonces, el límite del exponente es: $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \left( -\frac{1}{4x} \right) = \lim_{x \to \infty} -\frac{x}{4x} = -\frac{1}{4}.$$ Por tanto, el valor del límite original es: $$L = e^{-1/4} = \frac{1}{e^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{e}}.$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - 1}{4x} \right)^x = e^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{e}}}$$