Área encerrada por la curva coseno y su recta tangente

Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x_0 = -\frac{\pi}{4}$, necesitamos el valor de la función y de su derivada en dicho punto. 1. **Valor de la función:** $$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2. **Valor de la derivada:** Derivamos la función $f(x) = \cos x$: $$f'(x) = -\sin x$$ Evaluamos en el punto: $$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. **Ecuación de la recta tangente:** Utilizamos la fórmula punto-pendiente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$$ $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 💡 **Recuerda que:** La ecuación de la recta tangente a una función $f(x)$ en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x-a)$. $$\boxed{y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Debemos calcular el área delimitada por $f(x) = \cos x$, la recta tangente $t(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ y las rectas verticales $x = -\frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{\pi}{2}$. Primero, determinamos qué función está por encima en el intervalo $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$. La segunda derivada de $f$ es $f''(x) = -\cos x$. En el intervalo dado, $\cos x > 0$ (excepto en $\pi/2$), por lo que $f''(x) < 0$. Esto indica que la función es **cóncava hacia abajo**, lo que implica que la recta tangente siempre estará por encima de la gráfica de la función. El área viene dada por la integral: $$A = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} [t(x) - f(x)] \, dx$$ $$A = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \right) dx$$ 💡 **Tip:** Si una función es cóncava ($f'' < 0$), la recta tangente en cualquier punto del intervalo queda por encima de la curva.

Calculamos la primitiva de la expresión: $$F(x) = \int \left( \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \right) dx = \frac{\sqrt{2}}{4}x^2 + \left(\frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)x - \sin x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$: 1. **Límite superior ($x = \pi/2$):** $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\frac{\pi^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{\pi}{2} - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{16} + \frac{\sqrt{2}\pi^2}{16} + \frac{\sqrt{2}\pi}{4} - 1 = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{8} + \frac{\sqrt{2}\pi}{4} - 1$$ 2. **Límite inferior ($x = -\pi/4$):** $$F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\frac{\pi^2}{16} + \left(\frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$ $$F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{64} - \frac{\sqrt{2}\pi^2}{32} - \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}\pi^2}{64} - \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. **Cálculo final:** $$A = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left( \frac{\sqrt{2}\pi^2}{8} + \frac{\sqrt{2}\pi}{4} - 1 \right) - \left( -\frac{\sqrt{2}\pi^2}{64} - \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ $$A = \frac{9\sqrt{2}\pi^2}{64} + \frac{3\sqrt{2}\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \approx 1.921 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{9\sqrt{2}\pi^2 + 24\sqrt{2}\pi - 32\sqrt{2} - 64}{64} \text{ u}^2}$$ (Aproximadamente $1.92$ unidades cuadradas).