Estudio completo de una función racional-exponencial

Para determinar el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2}{2 - e^{-x}}$, debemos identificar los valores de $x$ que anulan el denominador, ya que la función no está definida en esos puntos. Igualamos el denominador a cero: $$2 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 2$$ Para despejar $x$, aplicamos el logaritmo natural en ambos lados: $$\ln(e^{-x}) = \ln(2) \implies -x = \ln(2) \implies x = -\ln(2)$$ Sabiendo que $\ln(2) \approx 0,693$, el punto de discontinuidad es $x \approx -0,693$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional o con denominadores son todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\ln(2)\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $-\ln(2)$: $$\lim_{x \to -\ln(2)} \frac{x^2}{2 - e^{-x}} = \frac{(-\ln(2))^2}{0} = \infty$$ Para conocer el comportamiento exacto, analizamos los límites laterales: - **Por la izquierda ($x \to -\ln(2)^-$):** El valor de $e^{-x}$ es ligeramente mayor que $2$, por lo que $2 - e^{-x}$ es un cero negativo ($0^-$). $$\lim_{x \to -\ln(2)^-} f(x) = \frac{(\ln 2)^2}{0^-} = -\infty$$ - **Por la derecha ($x \to -\ln(2)^+$):** El valor de $e^{-x}$ es ligeramente menor que $2$, por lo que $2 - e^{-x}$ es un cero positivo ($0^+$). $$\lim_{x \to -\ln(2)^+} f(x) = \frac{(\ln 2)^2}{0^+} = +\infty$$ ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = -\ln(2)}$$

Buscamos los límites en el infinito ($x \to \pm\infty$). **Caso $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{2 - e^{-x}} = \frac{+\infty}{2 - 0} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. **Caso $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{2 - e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-e^{-x} \cdot (-1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = \frac{2}{-\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el límite en el infinito es un número finito $L$, entonces $y = L$ es una asíntota horizontal. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Como ya hemos determinado que hay una asíntota horizontal en $-\infty$, solo buscamos asíntota oblicua $y = mx + n$ cuando $x \to +\infty$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x(2 - e^{-x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2 - e^{-x}} = \frac{+\infty}{2 - 0} = +\infty$$ Como la pendiente $m$ no es un número real finito, no existe asíntota oblicua por la derecha. ✅ **Resultado (Asíntotas Oblicuas):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x(2 - e^{-x}) - x^2(e^{-x})}{(2 - e^{-x})^2} = \frac{4x - 2xe^{-x} - x^2e^{-x}}{(2 - e^{-x})^2} = \frac{x(4 - (2 + x)e^{-x})}{(2 - e^{-x})^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando $f'(x) = 0$: 1. $x = 0$ 2. $4 - (2 + x)e^{-x} = 0$ Analicemos la función $g(x) = 4 - (2 + x)e^{-x}$. Su derivada es $g'(x) = (x + 1)e^{-x}$. El mínimo de $g(x)$ ocurre en $x = -1$, donde $g(-1) = 4 - e \approx 1,28 > 0$. Como el valor mínimo es positivo, $g(x)$ nunca es cero. Por tanto, el único punto crítico es **$x = 0$**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\ln 2) & -\ln 2 & (-\ln 2, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ En $x = 0$, la función pasa de decreciente a creciente, por lo que hay un mínimo relativo. La ordenada es $f(0) = \frac{0^2}{2 - e^0} = 0$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0)}$$