Distribución Binomial y aproximación por la Normal

**a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.** Primero definimos la variable aleatoria $X$: $X$: "Número de personas que cumplen años el día del patrón entre las 3900 elegidas". Cada persona elegida es un ensayo independiente con dos resultados posibles: cumplir años ese día (éxito) o no (fracaso). La probabilidad de éxito $p$ es $1/365$ (asumiendo un año no bisiesto y que los nacimientos se distribuyen uniformemente). Estamos ante una distribución binomial: $$X \sim B(n, p) = B\left(3900, \frac{1}{365}\right)$$ Donde: - $n = 3900$ - $p = \frac{1}{365} \approx 0.01068$ - $q = 1 - p = \frac{364}{365} \approx 0.99726$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se define cuando realizamos $n$ experimentos independientes con probabilidad constante $p$ de éxito.

Como el número de ensayos $n$ es muy grande, podemos intentar aproximar la distribución binomial por una normal. Comprobamos los criterios de aproximación: 1. $n \cdot p = 3900 \cdot \dfrac{1}{365} \approx 10.685 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 3900 \cdot \dfrac{364}{365} \approx 3889.315 \gt 5$ Como ambos son mayores que 5, aproximamos $X$ mediante una variable normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 10.685$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{3900 \cdot \dfrac{1}{365} \cdot \dfrac{364}{365}} \approx \sqrt{10.6557} \approx 3.264$ Por tanto, $X \approx Y \sim N(10.685, 3.264)$.

Queremos hallar $p(X \ge 15)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $$p(X \ge 15) \approx p(Y \ge 14.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{Y - \mu}{\sigma}$: $$p(Y \ge 14.5) = p\left(Z \ge \frac{14.5 - 10.685}{3.264}\right) = p(Z \ge 1.1688) \approx p(Z \ge 1.17)$$ Operamos para buscar en la tabla: $$p(Z \ge 1.17) = 1 - p(Z \lt 1.17) = 1 - 0.8790 = 0.121$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad es necesaria porque la Normal es continua y la Binomial es discreta. Si buscamos "al menos $k$", tomamos el valor $k - 0.5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(X \ge 15) = 0.121}$$

**b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.** Buscamos $p(5 \le X \le 15)$. Aplicamos de nuevo la corrección de continuidad: $$p(5 \le X \le 15) \approx p(4.5 \le Y \le 15.5)$$ Tipificamos ambos extremos: $$p\left(\frac{4.5 - 10.685}{3.264} \le Z \le \frac{15.5 - 10.685}{3.264}\right) = p(-1.8949 \le Z \le 1.4752)$$ Redondeando a dos decimales para las tablas: $$p(-1.89 \le Z \le 1.48)$$ Calculamos la probabilidad: $$p(Z \le 1.48) - p(Z \le -1.89) = p(Z \le 1.48) - [1 - p(Z \le 1.89)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $p(Z \le 1.48) = 0.9306$ - $p(Z \le 1.89) = 0.9706$ Sustituimos: $$0.9306 - (1 - 0.9706) = 0.9306 - 0.0294 = 0.9012$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(5 \le X \le 15) = 0.9012}$$