Probabilidad y Estadística 2021 Pais Vasco
Probabilidad: Lote de medicamentos caducados
En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El $80 \%$ corresponde al medicamento A, el $10 \ \%$ al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el $10 \ \%$ de A, el $20 \ \%$ de I y el $5 \ \%$ de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:
a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.
b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El medicamento elegido es del tipo A.
- $I$: El medicamento elegido es del tipo I.
- $M$: El medicamento elegido es del tipo M.
- $C$: El medicamento elegido está caducado.
- $\bar{C}$: El medicamento elegido no está caducado.
A partir del enunciado, extraemos las probabilidades:
- $P(A) = 0,80$
- $P(I) = 0,10$
- $P(M) = 1 - 0,80 - 0,10 = 0,10$
Las probabilidades condicionadas (medicamentos caducados según tipo) son:
- $P(C|A) = 0,10$
- $P(C|I) = 0,20$
- $P(C|M) = 0,05$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad total de que un medicamento esté caducado, $P(C)$, sumamos las probabilidades de que sea caducado viniendo de cada uno de los tres tipos posibles.
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(I) \cdot P(C|I) + P(M) \cdot P(C|M)$$
Sustituimos los valores:
$$P(C) = (0,80 \cdot 0,10) + (0,10 \cdot 0,20) + (0,10 \cdot 0,05)$$
$$P(C) = 0,08 + 0,02 + 0,005 = 0,105$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0,105}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.**
En este apartado nos piden una probabilidad "a posteriori", es decir, conocemos el efecto (está caducado) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que sea del tipo A). Para ello, utilizamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(A|C) = \frac{P(A) \cdot P(C|A)}{P(C)}$$
Utilizamos el valor de $P(C)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(A|C) = \frac{0,80 \cdot 0,10}{0,105}$$
$$P(A|C) = \frac{0,08}{0,105} = \frac{80}{105}$$
Simplificando la fracción (dividendo entre 5):
$$P(A|C) = \frac{16}{21} \approx 0,7619$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite invertir la condicionalidad. Se calcula como la probabilidad de la "rama favorable" dividida por la probabilidad total del suceso condicionante.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|C) = \frac{16}{21} \approx 0,7619}$$