Cálculo de integrales indefinidas

**Calcular, explicando los métodos utilizados, $I = \int (x + 2) \sin(2x) dx$.** La integral $I$ consiste en el producto de un polinomio, $(x+2)$, y una función trigonométrica, $\sin(2x)$. Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Para elegir $u$ y $dv$, seguimos la regla mnemotécnica **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, el polinomio tiene prioridad para ser $u$. 💡 **Tip:** Recuerda que la prioridad para elegir $u$ suele ser: $P(x) > \sin(ax)/\cos(ax) > e^{ax}$.

Definimos las variables para la integración por partes: - Elegimos $u = x + 2$, por lo que derivando obtenemos $du = dx$. - Elegimos $dv = \sin(2x) \, dx$, por lo que integrando obtenemos $v = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$. Aplicamos la fórmula: $$I = (x+2)\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int -\frac{1}{2}\cos(2x) \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$I = -\frac{x+2}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$$ Resolvemos la integral restante, que es inmediata: $$I = -\frac{x+2}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$$ ✅ **Resultado final de I:** $$\boxed{I = -\frac{x+2}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C}$$

**Calcular, explicando los métodos utilizados, $J = \int \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 5} dx$.** La integral $J$ es una integral de una **función racional** donde el grado del numerador es menor que el del denominador. El método a utilizar es la **descomposición en fracciones simples**. Primero, debemos hallar las raíces del denominador $x^2 - 4x - 5 = 0$ utilizando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$ Por lo tanto, el denominador se factoriza como: $$x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$$ 💡 **Tip:** Si el denominador tiene raíces reales distintas, la fracción se descompone en la suma de fracciones del tipo $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Planteamos la descomposición: $$\frac{x + 7}{(x-5)(x+1)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$x + 7 = A(x+1) + B(x-5)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ sustituyendo las raíces: - Si $x = 5$: $5 + 7 = A(5+1) \implies 12 = 6A \implies \mathbf{A = 2}$ - Si $x = -1$: $-1 + 7 = B(-1-5) \implies 6 = -6B \implies \mathbf{B = -1}$ La integral se transforma en: $$J = \int \left( \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x+1} \right) dx$$

Integramos cada término por separado. Ambas son integrales logarítmicas directas: $$J = 2 \int \frac{1}{x-5} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$$ Esto nos da: $$J = 2\ln|x-5| - \ln|x+1| + C$$ Podemos aplicar propiedades de los logaritmos para simplificar la solución (aunque no es estrictamente obligatorio en Bachillerato, es recomendable): $$J = \ln(x-5)^2 - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{(x-5)^2}{x+1}\right| + C$$ ✅ **Resultado final de J:** $$\boxed{J = 2\ln|x-5| - \ln|x+1| + C}$$