Área de un recinto limitado por tres funciones

**a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.** Para poder dibujar el recinto y determinar los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde las funciones se cortan entre sí en el primer cuadrante ($x > 0$): 1. **Corte entre $f(x) = 1/x$ y $g(x) = x^2$:** $$\frac{1}{x} = x^2 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$$ El punto de corte es $(1, 1)$. 2. **Corte entre $f(x) = 1/x$ y $h(x) = x^2/8$:** $$\frac{1}{x} = \frac{x^2}{8} \implies x^3 = 8 \implies x = 2$$ El punto de corte es $(2, 1/2)$. 3. **Corte entre $g(x) = x^2$ y $h(x) = x^2/8$:** $$x^2 = \frac{x^2}{8} \implies 8x^2 = x^2 \implies 7x^2 = 0 \implies x = 0$$ El punto de corte es el origen $(0, 0)$. 💡 **Tip:** Al buscar áreas, los puntos de intersección nos indican dónde cambian las funciones que delimitan el recinto por arriba y por abajo.

Con los puntos de corte hallados y conociendo la forma básica de las funciones (una hipérbola y dos parábolas), representamos el recinto en el primer cuadrante. - Entre $x=0$ y $x=1$, el recinto está limitado superiormente por $g(x)=x^2$ e inferiormente por $h(x)=x^2/8$. - Entre $x=1$ y $x=2$, el recinto está limitado superiormente por $f(x)=1/x$ e inferiormente por $h(x)=x^2/8$. ✅ **Representación gráfica:**

**b) Calcular el área de dicho recinto.** Debido a que la función superior cambia en $x=1$, debemos dividir el cálculo del área en dos integrales definidas sumando las regiones identificadas en el apartado anterior: $$A = \int_{0}^{1} [g(x) - h(x)] \, dx + \int_{1}^{2} [f(x) - h(x)] \, dx$$ Sustituyendo las funciones: $$A = \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^2}{8} \right) \, dx + \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{x^2}{8} \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $y=f_{sup}(x)$ y $y=f_{inf}(x)$ en un intervalo $[a,b]$ se calcula como $\int_{a}^{b} (f_{sup} - f_{inf}) \, dx$.

Calculamos la primera parte del área, $A_1$, en el intervalo $[0, 1]$: $$A_1 = \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^2}{8} \right) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{7x^2}{8} \, dx$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrar: $$A_1 = \left[ \frac{7x^3}{24} \right]_{0}^{1} = \frac{7(1)^3}{24} - \frac{7(0)^3}{24} = \frac{7}{24} \text{ u}^2$$

Calculamos la segunda parte del área, $A_2$, en el intervalo $[1, 2]$: $$A_2 = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{x^2}{8} \right) \, dx$$ Integramos cada término: $$A_2 = \left[ \ln|x| - \frac{x^3}{24} \right]_{1}^{2}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_2 = \left( \ln(2) - \frac{2^3}{24} \right) - \left( \ln(1) - \frac{1^3}{24} \right)$$ $$A_2 = \left( \ln(2) - \frac{8}{24} \right) - \left( 0 - \frac{1}{24} \right)$$ $$A_2 = \ln(2) - \frac{8}{24} + \frac{1}{24} = \ln(2) - \frac{7}{24} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = \frac{7}{24} + \left( \ln(2) - \frac{7}{24} \right)$$ Simplificando: $$A = \ln(2) \approx 0,693 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \ln(2) \text{ u}^2}$$