Cálculo de parámetros y extremos de una función polinómica

**a) Obtener los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(0, 1)$ y tenga un mínimo en el punto $(1, 1)$.** Empezamos utilizando el hecho de que la función pasa por el punto $(0, 1)$. Esto implica que $f(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la función: $$f(0) = A(0)^3 + B(0)^2 + C(0) + A = 1$$ $$A = 1$$ 💡 **Tip:** Cuando una función pasa por un punto $(x_0, y_0)$, siempre se cumple la igualdad $f(x_0) = y_0$. $$\boxed{A = 1}$$

Sabemos que la gráfica pasa por $(1, 1)$, por lo que $f(1) = 1$. Además, al haber un mínimo en ese punto, la derivada en ese valor debe ser cero: $f'(1) = 0$. Primero, actualizamos la función con $A = 1$: $$f(x) = x^3 + Bx^2 + Cx + 1$$ Sustituimos el punto $(1, 1)$: $$f(1) = (1)^3 + B(1)^2 + C(1) + 1 = 1$$ $$1 + B + C + 1 = 1 \implies B + C = -1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ Calculamos la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 2Bx + C$$ Imponemos la condición de extremo relativo en $x = 1$: $$f'(1) = 3(1)^2 + 2B(1) + C = 0$$ $$3 + 2B + C = 0 \implies 2B + C = -3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función derivable tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x = a$, entonces $f'(a) = 0$.

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2): $$\begin{cases} B + C = -1 \\ 2B + C = -3 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2B + C) - (B + C) = -3 - (-1)$$ $$B = -2$$ Sustituimos $B = -2$ en la primera ecuación: $$-2 + C = -1 \implies C = 1$$ Verificamos que en $x = 1$ hay un **mínimo** usando la segunda derivada: $$f''(x) = 6x + 2B = 6x - 4$$ $$f''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0$$ Como $f''(1) > 0$, efectivamente se trata de un mínimo relativo. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A = 1, B = -2, C = 1}$$

**b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.** Con los valores obtenidos, la función es $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$ y su derivada es $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$. Para encontrar otros posibles extremos, igualamos la derivada a cero: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1$ (el mínimo ya conocido). 2. $x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Existe otro punto crítico en **$x = 1/3$**.

Para determinar si $x = 1/3$ es un máximo o un mínimo, estudiamos el signo de $f'(x)$ o evaluamos en la segunda derivada. Usando la segunda derivada $f''(x) = 6x - 4$: $$f''(1/3) = 6\left(\frac{1}{3}\right) - 4 = 2 - 4 = -2 < 0$$ Como $f''(1/3) < 0$, existe un **máximo relativo** en $x = 1/3$. Calculamos la ordenada del punto: $$f(1/3) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1 - 6 + 9 + 27}{27} = \frac{31}{27}$$ **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1/3) & 1/3 & (1/3, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Existe un máximo relativo en el punto } \left(\frac{1}{3}, \frac{31}{27}\right)}$$