Estudio de extremos relativos, monotonía y representación gráfica

**Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = 5 + 8x^2 - x^4$. Representar la gráfica de $f$.** La función $f(x) = 5 + 8x^2 - x^4$ es una función polinómica de cuarto grado, por lo que su dominio es todo el conjunto de los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y localizar los extremos relativos, calculamos primero la derivada de la función aplicando las reglas básicas de derivación para potencias: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(5 + 8x^2 - x^4) = 0 + 8 \cdot 2x - 4x^3$$ $$f'(x) = 16x - 4x^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es 0 y la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$.

Los puntos críticos son aquellos valores donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$). Estos puntos son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. Resolvemos la ecuación: $$16x - 4x^3 = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $4x$: $$4x(4 - x^2) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $4x = 0 \implies x = 0$ 2. $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ Los puntos críticos son: $$\boxed{x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de $f'(x) = 4x(2-x)(2+x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Justificación del signo: - En $(-\infty, -2)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 + 108 = 60 \gt 0$. - En $(-2, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 + 4 = -12 \lt 0$. - En $(0, 2)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 \gt 0$. - En $(2, +\infty)$, tomamos $x = 3$: $f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 108 = -60 \lt 0$. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Creciente ($\nearrow$): $\boxed{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$ - Decreciente ($\searrow$): $\boxed{(-2, 0) \cup (2, +\infty)}$

A partir del análisis anterior, identificamos las coordenadas de los extremos sustituyendo los valores de $x$ en la función original $f(x) = 5 + 8x^2 - x^4$: 1. **Máximo en $x = -2$:** $$f(-2) = 5 + 8(-2)^2 - (-2)^4 = 5 + 8(4) - 16 = 5 + 32 - 16 = 21$$ $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, 21)}$$ 2. **Mínimo en $x = 0$:** $$f(0) = 5 + 8(0)^2 - (0)^4 = 5$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 5)}$$ 3. **Máximo en $x = 2$:** $$f(2) = 5 + 8(2)^2 - (2)^4 = 5 + 32 - 16 = 21$$ $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (2, 21)}$$ 💡 **Tip:** Observa que $f(x) = f(-x)$. La función es par, por lo que su gráfica es simétrica respecto al eje $Y$.

Para realizar una representación precisa, buscamos los puntos de corte con los ejes: - **Eje Y:** Si $x=0, y=5$. Punto $(0,5)$. - **Eje X:** Si $f(x)=0 \implies -x^4 + 8x^2 + 5 = 0$. Sea $z = x^2$: $$-z^2 + 8z + 5 = 0 \implies z = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(-1)(5)}}{2(-1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{-2} = 4 \pm \sqrt{21}$$ Como $x^2 \ge 0$, solo sirve $z = 4 + \sqrt{21} \approx 8.58$. Por tanto, $x \approx \pm \sqrt{8.58} \approx \pm 2.93$. Uniendo los máximos $(-2,21), (2,21)$, el mínimo $(0,5)$ y los cortes, obtenemos la gráfica en forma de "M" invertida. ✅ **Gráfica de la función:**