Recta perpendicular a otra por un punto exterior y distancia

**Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P = (-2, 1, 0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $r \equiv \{x = 1 - 2t, y = 1 + t, z = t\}$. Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.** Para resolver el problema, primero identificamos los elementos de la recta $r$ dada: - Punto de la recta: $A_r = (1, 1, 0)$ - Vector director de la recta: $\vec{v}_r = (-2, 1, 1)$ Buscamos una recta $s$ que pase por $P$ y corte a $r$ en un punto $Q$. Como $Q$ pertenece a $r$, sus coordenadas deben cumplir las ecuaciones de $r$ para algún valor del parámetro $t$: $$Q = (1 - 2t, 1 + t, t)$$ 💡 **Tip:** Expresar un punto genérico de una recta en función de su parámetro es la forma más eficiente de encontrar puntos de corte con condiciones específicas de perpendicularidad o distancia.

El vector que une $P$ con el punto de corte $Q$, al que llamaremos $\vec{PQ}$, debe ser perpendicular al vector director de la recta $r$ ($\vec{v}_r$). Primero, calculamos el vector $\vec{PQ}$ en función de $t$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - 2t - (-2), 1 + t - 1, t - 0) = (3 - 2t, t, t)$$ Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0$$ $$(3 - 2t, t, t) \cdot (-2, 1, 1) = 0$$ $$-2(3 - 2t) + 1(t) + 1(t) = 0$$ $$-6 + 4t + t + t = 0$$ $$6t - 6 = 0 \implies 6t = 6 \implies t = 1$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0$.

Sustituimos el valor de $t = 1$ en las coordenadas de $Q$ para hallar el punto de intersección: $$Q = (1 - 2(1), 1 + 1, 1) = (-1, 2, 1)$$ Ahora obtenemos el vector director de la recta buscada $s$, que es el vector $\vec{PQ}$ evaluado en $t = 1$: $$\vec{v}_s = \vec{PQ} = (3 - 2(1), 1, 1) = (1, 1, 1)$$ $$\boxed{Q(-1, 2, 1)}$$

La recta $s$ pasa por el punto $P(-2, 1, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v}_s = (1, 1, 1)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuaciones de la recta):** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

La distancia solicitada es el módulo del vector $\vec{PQ}$ que calculamos anteriormente: $$d(P, Q) = |\vec{PQ}| = |(1, 1, 1)|$$ Aplicamos la fórmula del módulo de un vector: $$d(P, Q) = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ La distancia es aproximadamente $1.732$ unidades lineales. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, Q) = \sqrt{3} \text{ u}}$$