Recta y plano en el espacio: perpendicularidad y contención

Para resolver ambos apartados, primero necesitamos identificar los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$. La recta $r$ pasa por $A(1, a, -1)$ y $B(b, 1, 1)$. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = (b-1, 1-a, 1-(-1)) = (b-1, 1-a, 2).$$ El plano $\pi$ tiene como ecuación $x + y - 2z = 2b$. Su vector normal $\vec{n}_\pi$ está formado por los coeficientes de las variables $x$, $y$ y $z$: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, -2).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$, el vector director es $\vec{v} = B - A$. Para un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

**a) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo (proporcional) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. La condición de proporcionalidad es: $$\frac{b-1}{1} = \frac{1-a}{1} = \frac{2}{-2}$$ Resolvemos las igualdades: 1. De la última fracción obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad: $\frac{2}{-2} = -1$. 2. Para la primera componente: $b - 1 = -1 \implies b = 0$. 3. Para la segunda componente: $1 - a = -1 \implies a = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 0}$$

**b) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$ se deben cumplir dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. 2. Cualquier punto de la recta (por ejemplo, el punto $A$) debe pertenecer al plano $\pi$. **Primera condición ($\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi$):** El producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (b-1, 1-a, 2) \cdot (1, 1, -2) = 0$$ $$(b-1)(1) + (1-a)(1) + 2(-2) = 0$$ $$b - 1 + 1 - a - 4 = 0 \implies b - a = 4 \implies b = a + 4$$ 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, su dirección es "horizontal" respecto a la normal del plano, por lo que el producto escalar de sus vectores característicos es nulo.

**Segunda condición ($A \in \pi$):** Sustituimos las coordenadas del punto $A(1, a, -1)$ en la ecuación del plano $x + y - 2z = 2b$: $$1 + a - 2(-1) = 2b$$ $$1 + a + 2 = 2b \implies a + 3 = 2b$$ Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por ambas condiciones: 1. $b = a + 4$ 2. $a + 3 = 2b$ Sustituimos la primera en la segunda: $$a + 3 = 2(a + 4)$$ $$a + 3 = 2a + 8$$ $$3 - 8 = 2a - a \implies a = -5$$ Calculamos $b$: $$b = -5 + 4 = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -5, \quad b = -1}$$