Invertibilidad de una matriz con parámetros e inversión de matrices

**a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si, y solo si, su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(2)(\alpha)(-1) + (3)(1)(0) + (\alpha)(1)(\alpha)] - [(0)(\alpha)(\alpha) + (\alpha)(1)(2) + (-1)(1)(3)]$$ $$|A| = [-2\alpha + 0 + \alpha^2] - [0 + 2\alpha - 3]$$ $$|A| = \alpha^2 - 2\alpha - 2\alpha + 3$$ $$|A| = \alpha^2 - 4\alpha + 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (regular) si $|A| \neq 0$ y es no invertible (singular) si $|A| = 0$.

Para hallar los valores donde no existe la inversa, igualamos el determinante a cero: $$\alpha^2 - 4\alpha + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\alpha = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$\alpha_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad \alpha_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ Por tanto, la matriz $A$ no tiene inversa cuando $\alpha = 1$ o $\alpha = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 1, \quad \alpha = 3}$$

**b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha = 2$.** Primero comprobamos si existe la inversa para $\alpha = 2$. Según el apartado anterior, el determinante es: $$|A| = \alpha^2 - 4\alpha + 3$$ Para $\alpha = 2$: $$|A| = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **sí tiene inversa** para $\alpha = 2$. La matriz para este valor es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 4) = 7$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 0) = -4$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 \\ 7 & -2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} -4 & 7 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$ con $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -4 & 7 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -7 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}}$$