Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $\alpha$:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & -1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite conocer la compatibilidad del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$). $$\boxed{A = \begin{pmatrix} \alpha & -1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $A$ para encontrar los valores críticos de $\alpha$ que cambian el rango de la matriz: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & -1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (que contiene un cero) para simplificar: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & \alpha \end{vmatrix} - 0 + (\alpha - 1) \cdot \begin{vmatrix} \alpha & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (-\alpha + 1) + (\alpha - 1)(-\alpha + 3)$$ Factorizamos $(\alpha - 1)$ para resolver más fácilmente: $$|A| = (1 - \alpha) + (\alpha - 1)(3 - \alpha) = -(\alpha - 1) + (\alpha - 1)(3 - \alpha)$$ $$|A| = (\alpha - 1) [-1 + (3 - \alpha)] = (\alpha - 1)(2 - \alpha)$$ Igualamos a cero para obtener las raíces: $$(\alpha - 1)(2 - \alpha) = 0 \implies \alpha = 1, \quad \alpha = 2$$ 💡 **Tip:** Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es máximo (3 en este caso), lo que simplifica mucho la discusión. $$\boxed{|A| = -\alpha^2 + 3\alpha - 2}$$

Analizamos los casos posibles según los valores de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq 2$** En este caso $|A| \neq 0$. Por tanto: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**: tiene solución única. **Caso 2: $\alpha = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, sabemos que $rg(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 3 = 2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Para el rango de $A^*$, estudiamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (F_3) = 1 \cdot (-1+1) + 1 \cdot (-1+3) = 2 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como **$rg(A) \neq rg(A^*)$**, el sistema es **Incompatible (SI)**: no tiene solución. **Caso 3: $\alpha = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Tomamos un menor de $A$: $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$. Observamos que la columna 3 y la columna 4 son idénticas. Esto significa que cualquier determinante de orden 3 en $A^*$ que use la columna 4 dará el mismo resultado que el determinante de $A$. Como $|A|=0$, entonces $rg(A^*) = 2$. Como **$rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**: infinitas soluciones.

**Resolver el sistema para $\alpha = 3$, si es posible.** Como $\alpha = 3 \neq \{1, 2\}$, el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $\alpha = 3$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} 3x - y + z = 1 \\ 3x - y + 3z = 3 \\ x + 2z = 1 \end{cases}$$ Calculamos el determinante para este caso: $$|A| = (3-1)(2-3) = 2 \cdot (-1) = -2$$ Aplicamos la Regla de Cramer: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{-2 + 0 + 3 - (-1 + 0 - 6)}{-2} = \frac{1 + 7}{-2} \text{ (recalculando...)}$$ Desarrollo correcto por Sarrus del numerador $x$: $1(-1)(2) + (-1)(3)(1) + 1(3)(0) - [1(-1)(1) + 0 + 2(3)(-1)] = -2 -3 + 0 - [-1 -6] = -5 + 7 = 2.$ $$x = \frac{2}{-2} = -1$$ Para $y$: $$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{18 + 3 + 3 - (3 + 9 + 6)}{-2} = \frac{24 - 18}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$$ Para $z$: $$z = \frac{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{-3 - 3 + 0 - (-1 + 0 - 3)}{-2} = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, \quad y = -3, \quad z = 1}$$