Distribución Normal de estaturas

Definimos la variable aleatoria $X$ como la estatura de un individuo en centímetros. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(1,74; 0,05)$$ Donde: - La media es $\mu = 1,74$ cm. - La desviación típica es $\sigma = 0,05$ cm. 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, la curva es simétrica respecto a la media $\mu$, lo que facilita el cálculo de probabilidades directas relacionadas con el centro de la distribución.

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?** Buscamos calcular $P(X \le 1,74)$. Debido a la simetría de la campana de Gauss, la media divide a la población exactamente en dos mitades iguales. Por tanto: $$P(X \le 1,74) = 0,5$$ Esto se debe a que en cualquier distribución normal, el área bajo la curva a la izquierda de la media es siempre la mitad del área total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 1,74) = 0,5}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad que su estatura esté comprendida entre $1,64$ y $1,84$ cm?** Para calcular probabilidades en una normal no estándar, debemos transformar $X$ en una variable $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Calculamos los valores de $Z$ para los extremos del intervalo $[1,64, 1,84]$: - Para $x_1 = 1,64$: $z_1 = \frac{1,64 - 1,74}{0,05} = \frac{-0,10}{0,05} = -2$ - Para $x_2 = 1,84$: $z_2 = \frac{1,84 - 1,74}{0,05} = \frac{0,10}{0,05} = 2$ La probabilidad buscada es $P(1,64 \le X \le 1,84) = P(-2 \le Z \le 2)$. 💡 **Tip:** Tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar cualquier probabilidad.

Utilizamos las propiedades de simetría de la distribución normal para calcular $P(-2 \le Z \le 2)$: $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2)$$ Sabemos que $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$, por tanto: $$P(Z \le 2) - [1 - P(Z \le 2)] = 2 \cdot P(Z \le 2) - 1$$ Buscamos el valor para $Z = 2,00$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 2,00) = 0,9772$$ Sustituimos y operamos: $$2 \cdot (0,9772) - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1,64 \le X \le 1,84) = 0,9544}$$

**c) Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿Cuántos tienen una estatura inferior a $1,54$ cm?** Primero, calculamos la probabilidad de que un individuo mida menos de $1,54$ cm tipificando la variable: $$z = \frac{1,54 - 1,74}{0,05} = \frac{-0,20}{0,05} = -4$$ Calculamos $P(Z \lt -4)$: $$P(Z \lt -4) = 1 - P(Z \lt 4)$$ En las tablas estándar, para valores de $Z \gt 3,5$ o $Z \gt 3,9$, la probabilidad acumulada es prácticamente $1$ (un evento casi seguro). Por tanto: $$P(Z \lt 4) \approx 1 \implies P(Z \lt -4) \approx 0$$ Para hallar el número de individuos, multiplicamos el tamaño de la población ($N=1500$) por la probabilidad: $$\text{Número de individuos} = 1500 \cdot 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando un valor de $Z$ está a más de 3 o 4 desviaciones típicas de la media, la probabilidad de encontrar valores más extremos es extremadamente baja, tendiendo a cero en aplicaciones prácticas de Bachillerato. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0 \text{ individuos}}$$