Probabilidad condicionada y tablas de contingencia

Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en una tabla de contingencia. Definimos los sucesos: - $B$: El estudiante procede del barrio. - $\bar{B}$: El estudiante no procede del barrio. - $C$: El estudiante utiliza el servicio de comedor. - $\bar{C}$: El estudiante no utiliza el servicio de comedor. Datos del enunciado: - Total de alumnos: $N = 700$ - Del barrio: $n(B) = 500$ - Usan comedor: $n(C) = 575$ - Del barrio y usan comedor: $n(B \cap C) = 400$ Completamos la tabla restando para obtener las celdas faltantes: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & C & \bar{C} & \text{Total} \\ \hline B & 400 & 500 - 400 = 100 & 500 \\ \hline \bar{B} & 575 - 400 = 175 & 200 - 175 = 25 & 700 - 500 = 200 \\ \hline \text{Total} & 575 & 700 - 575 = 125 & 700 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con frecuencias absolutas de dos variables, una tabla de contingencia permite visualizar todas las intersecciones de forma inmediata.

**a) Si es del barrio, ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de comedor?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que use el comedor ($C$) dado que sabemos que es del barrio ($B$). Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}$$ Podemos trabajar directamente con el número de estudiantes de la tabla: $$P(C|B) = \frac{n(C \cap B)}{n(B)} = \frac{400}{500}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C|B) = \frac{4}{5} = 0,8$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ reduce el espacio muestral únicamente a los casos donde ocurre $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|B) = 0,8}$$

Nos piden la probabilidad de que no proceda del barrio ($\bar{B}$) sabiendo que usa el servicio de comedor ($C$). De nuevo, aplicamos la probabilidad condicionada: $$P(\bar{B}|C) = \frac{P(\bar{B} \cap C)}{P(C)}$$ Consultando nuestra tabla, el número de estudiantes que no son del barrio y usan comedor es $175$, y el total de usuarios de comedor es $575$: $$P(\bar{B}|C) = \frac{175}{575}$$ Simplificamos dividiendo por $25$: $$P(\bar{B}|C) = \frac{7}{23} \approx 0,3043$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B}|C) = \frac{7}{23} \approx 0,3043}$$

Nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos $B$ y $C$, es decir, $P(B \cup C)$. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$$ Calculamos cada término respecto al total ($700$): - $P(B) = \frac{500}{700}$ - $P(C) = \frac{575}{700}$ - $P(B \cap C) = \frac{400}{700}$ Sustituimos: $$P(B \cup C) = \frac{500}{700} + \frac{575}{700} - \frac{400}{700} = \frac{675}{700}$$ Simplificamos dividiendo por $25$: $$P(B \cup C) = \frac{27}{28} \approx 0,9643$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la unión, ya que de lo contrario estarías contando dos veces a los estudiantes que cumplen ambas condiciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cup C) = \frac{27}{28} \approx 0,9643}$$

Nos piden la probabilidad de que ocurra $\bar{B}$ y al mismo tiempo ocurra $\bar{C}$, es decir, $P(\bar{B} \cap \bar{C})$. Podemos resolverlo de dos formas: **1. Directamente de la tabla:** En la intersección de la fila $\bar{B}$ y la columna $\bar{C}$ tenemos $25$ estudiantes. $$P(\bar{B} \cap \bar{C}) = \frac{25}{700} = \frac{1}{28} \approx 0,0357$$ **2. Usando las Leyes de De Morgan:** Sabemos que $(\bar{B} \cap \bar{C})$ es el suceso contrario de la unión $(B \cup C)$: $$P(\bar{B} \cap \bar{C}) = P(\overline{B \cup C}) = 1 - P(B \cup C)$$ $$P(\bar{B} \cap \bar{C}) = 1 - \frac{27}{28} = \frac{1}{28} \approx 0,0357$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B} \cap \bar{C}) = \frac{1}{28} \approx 0,0357}$$