Integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int x \ln(x + 1) dx$, observamos que tenemos el producto de una función polinómica ($x$) y una función logarítmica ($\ln(x+1)$). El método más adecuado para este tipo de productos es el de **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, daremos prioridad a la función logarítmica para ser $u$.

Siguiendo la regla anterior, realizamos la siguiente elección: - Elegimos $u = \ln(x+1)$. Derivamos para obtener $du$: $$du = \frac{1}{x+1} dx$$ - Elegimos $dv = x \, dx$. Integramos para obtener $v$: $$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$ (No es necesario añadir la constante $C$ en este paso intermedio).

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \ln(x + 1) dx = \ln(x+1) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x+1} dx$$ Simplificamos la expresión extrayendo la constante fuera de la integral: $$I = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x+1} dx$$ Ahora debemos resolver la integral racional resultante: $\int \frac{x^2}{x+1} dx$.

La integral $\int \frac{x^2}{x+1} dx$ es una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el del denominador. Realizamos la **división de polinomios**: $$\begin{array}{r|l} x^2 & x+1 \\ \hline -x^2 - x & x-1 \\ \hline -x & \\ x + 1 & \\ \hline 1 & \end{array}$$ Esto nos indica que: $$\frac{x^2}{x+1} = (x - 1) + \frac{1}{x+1}$$ Calculamos la integral de cada término por separado: $$\int \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx = \int x \, dx - \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x+1} dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{x+a}$ es de tipo logarítmico: $\ln|x+a|$.

Retomamos la expresión completa del Paso 3 y sustituimos el resultado de la integral racional: $$I = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1) \right] + C$$ *Nota: Quitamos el valor absoluto del logaritmo porque el dominio de la función original requiere que $x+1 > 0$.* Distribuimos el factor $-\frac{1}{2}$: $$I = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln(x+1) + C$$ Podemos agrupar los términos que contienen el logaritmo para dar una solución más elegante: $$I = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$$ O bien: $$\boxed{\int x \ln(x + 1) dx = \frac{x^2-1}{2} \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C}$$