Área encerrada entre dos parábolas

Para delimitar el recinto, primero debemos encontrar los puntos donde ambas parábolas se cortan. Igualamos las ecuaciones de las funciones: $$f(x) = 4x - x^2$$ $$g(x) = x^2 - 6$$ Planteamos la igualdad: $$4x - x^2 = x^2 - 6$$ $$0 = 2x^2 - 4x - 6$$ Dividimos toda la ecuación por $2$ para simplificar: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los dos valores de corte: $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ Los puntos de intersección son los límites de integración para el cálculo del área. 💡 **Tip:** Los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ se hallan resolviendo $f(x) = g(x)$. $$\boxed{x = -1, \quad x = 3}$$

Para dibujar el recinto y plantear la integral correctamente, debemos saber qué función queda por encima de la otra en el intervalo $(-1, 3)$. Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0$: $$f(0) = 4(0) - (0)^2 = 0$$ $$g(0) = (0)^2 - 6 = -6$$ Como $f(0) \gt g(0)$, la parábola $f(x) = 4x - x^2$ (que abre hacia abajo) está por encima de $g(x) = x^2 - 6$ (que abre hacia arriba) en todo el intervalo. El área será: $$A = \int_{-1}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx$$ **Representación gráfica del recinto:**

Calculamos la función diferencia para integrar: $$h(x) = f(x) - g(x) = (4x - x^2) - (x^2 - 6) = -2x^2 + 4x + 6$$ Planteamos la integral definida: $$A = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 4x + 6) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 6x = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $-1$ y $3$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x \right]_{-1}^{3}$$ Sustituimos el límite superior: $$F(3) = -\frac{2(3)^3}{3} + 2(3)^2 + 6(3) = -\frac{54}{3} + 18 + 18 = -18 + 18 + 18 = 18$$ Sustituimos el límite inferior: $$F(-1) = -\frac{2(-1)^3}{3} + 2(-1)^2 + 6(-1) = \frac{2}{3} + 2 - 6 = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2 - 12}{3} = -\frac{10}{3}$$ Calculamos el resultado final: $$A = F(3) - F(-1) = 18 - \left( -\frac{10}{3} \right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54 + 10}{3} = \frac{64}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{64}{3} \text{ u}^2 \approx 21,33 \text{ u}^2}$$