Cálculo de parámetros y extremos relativos

**Sea $f(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C$. Obtener los valores de $A, B$ y $C$ para que en el punto de abscisa $x = 0$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea $y = 2x - 1$ y en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea horizontal.** Primero, calculamos las derivadas de la función, ya que la pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por el valor de la derivada en dicho punto: $$f(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C$$ $$f'(x) = 4x^3 + 2Ax + B$$ $$f''(x) = 12x^2 + 2A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x-a)$. Si la recta es $y = mx + n$, entonces $f'(a) = m$ y $f(a) = m \cdot a + n$.

Se nos indica que en $x=0$, la recta tangente es $y = 2x - 1$. De aquí extraemos dos condiciones: 1. **La pendiente:** La pendiente de la recta es $m = 2$, por lo tanto, $f'(0) = 2$. $$f'(0) = 4(0)^3 + 2A(0) + B = 2 \implies \mathbf{B = 2}$$ 2. **El punto de tangencia:** La función y la recta comparten el mismo valor de $y$ en $x=0$. Evaluamos la recta en $x=0$: $y = 2(0) - 1 = -1$. Por tanto, $f(0) = -1$. $$f(0) = 0^4 + A(0)^2 + B(0) + C = -1 \implies \mathbf{C = -1}$$ $$\boxed{B = 2, \quad C = -1}$$

Se nos indica que en $x=1$ la recta tangente es horizontal. Una recta horizontal tiene pendiente $m = 0$, por lo que $f'(1) = 0$. Usamos la expresión de la derivada y el valor de $B$ ya calculado: $$f'(x) = 4x^3 + 2Ax + 2$$ $$f'(1) = 4(1)^3 + 2A(1) + 2 = 0$$ $$4 + 2A + 2 = 0 \implies 2A = -6 \implies \mathbf{A = -3}$$ ✅ **Valores de los parámetros:** $$\boxed{A = -3, \quad B = 2, \quad C = -1}$$

**El extremo situado en el punto de abscisa $x = 1$, ¿es máximo o mínimo?** Para determinar si es un máximo o un mínimo, utilizaremos el criterio de la segunda derivada. La función y su segunda derivada son: $$f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$$ $$f''(x) = 12x^2 + 2A = 12x^2 - 6$$ Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico $x=1$: $$f''(1) = 12(1)^2 - 6 = 6$$ Como $f''(1) \gt 0$, la función es convexa (cóncava hacia arriba) en ese punto, lo que significa que hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Si $f'(a)=0$: - $f''(a) \gt 0 \implies$ Mínimo relativo. - $f''(a) \lt 0 \implies$ Máximo relativo. También podemos analizar el signo de la primera derivada $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ alrededor de $x=1$. Factorizando (sabiendo que $x=1$ es raíz): $f'(x) = 2(x-1)^2(2x+1)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\frac{1}{2}, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En } x=1 \text{ hay un mínimo relativo}}$$