Crecimiento y extremos de una función racional

**Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 4}$ y calcular sus máximos y sus mínimos.** Antes de estudiar la monotonía, debemos determinar el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$$ Esto es fundamental, ya que la función no es continua en $x = -2$ ni en $x = 2$, y estos puntos deben tenerse en cuenta al establecer los intervalos de crecimiento. 💡 **Tip:** Recuerda siempre calcular el dominio antes de derivar; los puntos de discontinuidad dividen la recta real igual que los puntos críticos.

Para estudiar el crecimiento y los extremos relativos, calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x - 4)' \cdot (x^2 - 4) - (x - 4) \cdot (x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - (x - 4) \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 4 - 2x^2 + 8x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 4}{(x^2 - 4)^2}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{-x^2 + 8x - 4}{(x^2 - 4)^2}}$$

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$. Como el denominador es un cuadrado (siempre positivo en el dominio), solo igualamos el numerador a cero: $$-x^2 + 8x - 4 = 0 \implies x^2 - 8x + 4 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}$$ Simplificando $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$: $$x = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$$ Obtenemos los valores aproximados para situarlos en la recta real: - $x_1 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.54$ - $x_2 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.46$ 💡 **Tip:** Aunque uses decimales para orientarte, mantén los valores exactos con raíces para obtener resultados precisos en los cálculos posteriores.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio ($x = -2, 2$) y los puntos críticos ($x \approx 0.54, 7.46$). El denominador $(x^2-4)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del numerador $P(x) = -x^2 + 8x - 4$ (una parábola cóncava hacia abajo). $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0.54) & 0.54 & (0.54, 2) & 2 & (2, 7.46) & 7.46 & (7.46, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Concluimos los intervalos: - **Crecimiento:** $x \in (4-2\sqrt{3}, 2) \cup (2, 4+2\sqrt{3})$ - **Decrecimiento:** $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 4-2\sqrt{3}) \cup (4+2\sqrt{3}, +\infty)$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (4-2\sqrt{3}, 2) \cup (2, 4+2\sqrt{3}) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, -2) \cup (-2, 4-2\sqrt{3}) \cup (4+2\sqrt{3}, +\infty)}$$

A partir del cambio de signo de la derivada: - En $x = 4-2\sqrt{3}$ hay un **mínimo relativo** (pasa de decrecer a crecer). - En $x = 4+2\sqrt{3}$ hay un **máximo relativo** (pasa de crecer a decrecer). Calculamos sus ordenadas sustituyendo en $f(x) = \frac{x-4}{x^2-4}$. Para $x = 4-2\sqrt{3}$: $$f(4-2\sqrt{3}) = \frac{4-2\sqrt{3}-4}{(4-2\sqrt{3})^2-4} = \frac{-2\sqrt{3}}{16+12-16\sqrt{3}-4} = \frac{-2\sqrt{3}}{24-16\sqrt{3}}$$ Simplificando y racionalizando, se obtiene $y = \frac{2+\sqrt{3}}{4} \approx 0.93$. Para $x = 4+2\sqrt{3}$: $$f(4+2\sqrt{3}) = \frac{4+2\sqrt{3}-4}{(4+2\sqrt{3})^2-4} = \frac{2\sqrt{3}}{24+16\sqrt{3}}$$ Simplificando y racionalizando, se obtiene $y = \frac{2-\sqrt{3}}{4} \approx 0.07$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } \left(4-2\sqrt{3}, \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) \quad \text{Máximo: } \left(4+2\sqrt{3}, \frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)}$$