Coplanaridad de puntos y simetría respecto a un plano

**a) Calcular el valor de $b$ para que $A, B, C$ y $D$ estén en el mismo plano.** Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanares si los tres vectores formados a partir de ellos, por ejemplo $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$, son linealmente dependientes. Esto equivale a que el determinante de la matriz formada por sus componentes sea igual a cero. Calculamos los vectores tomando $A$ como origen: - $\vec{AB} = B - A = (1 - 0, b - 2, 0 - 1) = (1, b - 2, -1)$ - $\vec{AC} = C - A = (-1 - 0, 0 - 2, 2 - 1) = (-1, -2, 1)$ - $\vec{AD} = D - A = (1 - 0, 1 - 2, 1 - 1) = (1, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanares si el producto mixto es cero: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.

Planteamos el determinante y lo igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 1 & b-2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$[1 \cdot (-2) \cdot 0 + (b-2) \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)] - [(-1) \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (b-2) \cdot (-1)] = 0$$ $$[0 + (b-2) - 1] - [2 - 1 + 0] = 0$$ $$b - 3 - 1 = 0$$ $$b - 4 = 0 \implies b = 4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = 4}$$

**b) El plano que contiene a los puntos $A, B, C$ y $D$ es perpendicular al segmento $PQ$ y lo divide en dos partes iguales. Si $P = (1, 2, -3)$, calcular las coordenadas de $Q$.** Primero necesitamos la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos. Usamos el punto $A(0, 2, 1)$ y los vectores directores $\vec{AC}(-1, -2, 1)$ y $\vec{AD}(1, -1, 0)$: $$\begin{vmatrix} x-0 & y-2 & z-1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$[(x)(-2)(0) + (y-2)(1)(1) + (z-1)(-1)(-1)] - [(1)(-2)(z-1) + (-1)(1)(x) + 0] = 0$$ $$[0 + y - 2 + z - 1] - [-2z + 2 - x] = 0$$ $$y + z - 3 + 2z - 2 + x = 0$$ $$x + y + 3z - 5 = 0$$ El vector normal del plano es $\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$. ✅ **Ecuación del plano:** $$\boxed{\pi: x + y + 3z - 5 = 0}$$

El enunciado indica que el plano $\pi$ es el plano mediador del segmento $PQ$. Esto significa que: 1. El segmento $PQ$ es perpendicular al plano (su vector director $\vec{PQ}$ es paralelo a $\vec{n_\pi}$). 2. El punto medio $M$ del segmento $PQ$ pertenece al plano $\pi$. Para hallar $M$, trazamos una recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pase por $P(1, 2, -3)$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 + 3\lambda \end{cases}$$ Calculamos la intersección $M = r \cap \pi$ sustituyendo las coordenadas de $r$ en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + 3(-3 + 3\lambda) - 5 = 0$$ $$1 + \lambda + 2 + \lambda - 9 + 9\lambda - 5 = 0$$ $$11\lambda - 11 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en la recta $r$ obtenemos $M$: $$M = (1+1, 2+1, -3+3(1)) = (2, 3, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano.

Puesto que $M(2, 3, 0)$ es el punto medio del segmento $PQ$, se cumple la relación vectorial: $$M = \frac{P + Q}{2} \implies Q = 2M - P$$ Sustituimos los valores de $M$ y $P$: $$Q = 2(2, 3, 0) - (1, 2, -3)$$ $$Q = (4, 6, 0) - (1, 2, -3)$$ $$Q = (4 - 1, 6 - 2, 0 - (-3)) = (3, 4, 3)$$ Visualización geométrica del problema: ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q = (3, 4, 3)}$$