Plano paralelo a una recta y distancia entre ellos

**Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta $r$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$. Calcular la distancia de la recta $r$ a ese plano.** Primero, extraemos un punto y el vector director de la recta $r$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: - Punto de la recta: $P_r = (0, 2, 1)$ - Vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$ Además, tenemos los puntos $A = (1, 2, 3)$ y $B = (3, 2, 1)$. Como el plano pasa por $A$ y $B$, el vector $\vec{AB}$ será un vector contenido en el plano (o paralelo a él): $$\vec{AB} = B - A = (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores linealmente independientes, o un punto y un vector normal.

Para que el plano $\pi$ sea paralelo a la recta $r$ y contenga a los puntos $A$ y $B$, sus vectores directores deben ser: 1. El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$. 2. El vector que une los puntos: $\vec{AB} = (2, 0, -2)$. Podemos simplificar el vector $\vec{AB}$ dividiéndolo por 2 para facilitar los cálculos, usando $\vec{u} = (1, 0, -1)$ como segundo vector director. Calculamos el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$ mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = \left[ (2 \cdot (-1))\vec{i} + (3 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 0)\vec{k} \right] - \left[ (1 \cdot 2)\vec{k} + (0 \cdot 3)\vec{i} + (-1 \cdot 1)\vec{j} \right]$$ $$\vec{n}_{\pi} = (-2\vec{i} + 3\vec{j} + 0\vec{k}) - (2\vec{k} + 0\vec{i} - 1\vec{j})$$ $$\vec{n}_{\pi} = -2\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} = (-2, 4, -2)$$ Para simplificar la ecuación del plano, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $\vec{n} = (1, -2, 1)$.

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x - 2y + 1z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(1, 2, 3)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1(1) - 2(2) + 1(3) + D = 0 \implies 1 - 4 + 3 + D = 0 \implies 0 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x - 2y + z = 0}$$

Dado que la recta $r$ es paralela al plano $\pi$, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $P_r(0, 2, 1)$ que identificamos en el primer paso. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1(0) - 2(2) + 1(1) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|-4 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ unidades}}$$