Ecuación matricial con potencias

Para resolver la ecuación matricial $A^2 \cdot X + B = C$, primero debemos aislar el término que contiene a $X$. Operamos igual que en una ecuación de primer grado, teniendo en cuenta que el orden de los factores en el producto de matrices importa: 1. Restamos la matriz $B$ en ambos lados: $$A^2 \cdot X = C - B$$ 2. Suponiendo que $A^2$ es invertible, multiplicamos por su inversa $(A^2)^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$(A^2)^{-1} \cdot A^2 \cdot X = (A^2)^{-1} \cdot (C - B)$$ $$I \cdot X = (A^2)^{-1} \cdot (C - B)$$ $$X = (A^2)^{-1} \cdot (C - B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no existe la división. Para "pasar una matriz al otro lado" multiplicando, debemos usar la matriz inversa y respetar siempre el lado (izquierda o derecha) por el que multiplicamos, ya que el producto matricial no es conmutativo.

Calculamos primero el cuadrado de la matriz $A$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot(-2) & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ -2\cdot 1 + 1\cdot(-2) & -2\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz resultante de la resta $C - B$: $$C - B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 2-0 \\ 0-2 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda. Para sumar o restar, simplemente operamos los elementos que ocupan la misma posición.

Para hallar la inversa de $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$, primero calculamos su determinante: $$|A^2| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot (-4)) = 1$$ Como $|A^2| \neq 0$, la matriz es invertible. Usamos la fórmula para matrices $2 \times 2$: Si $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, entonces $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$(A^2)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -0 \\ -(-4) & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|A^k| = |A|^k$. En este caso, $|A| = 1$, por lo que $|A^2| = 1^2 = 1$.

Finalmente, sustituimos los resultados en la expresión $X = (A^2)^{-1} \cdot (C - B)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 0) + (0 \cdot -2) = 0$ y $(1 \cdot 2) + (0 \cdot 0) = 2$ - Fila 2: $(4 \cdot 0) + (1 \cdot -2) = -2$ y $(4 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 8$ Por lo tanto: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}}$$