Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 2 & \alpha & 1 \\ 1 & -\alpha & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 & 2 + \alpha \\ 1 & -\alpha & 2 & 2\alpha \end{pmatrix}$$ El estudio del rango de $A$ se realiza calculando su determinante $|A|$ en función de $\alpha$. 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar si un sistema tiene solución comparando el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 2 & \alpha & 1 \\ 1 & -\alpha & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (\alpha \cdot \alpha \cdot 2) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot -\alpha) - [(-1 \cdot \alpha \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 2) + (\alpha \cdot 1 \cdot -\alpha)]$$ $$|A| = (2\alpha^2 + 2 + 2\alpha) - (-\alpha + 8 - \alpha^2)$$ $$|A| = 2\alpha^2 + 2\alpha + 2 + \alpha - 8 + \alpha^2$$ $$|A| = 3\alpha^2 + 3\alpha - 6$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$3\alpha^2 + 3\alpha - 6 = 0 \implies \alpha^2 + \alpha - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Los valores obtenidos son **$\alpha = 1$** y **$\alpha = -2$**. $$\boxed{|A| = 3(\alpha - 1)(\alpha + 2)}$$

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ según el Teorema de Rouché-Capelli: 1. **Caso $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$**: Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$. Como el máximo rango posible es 3, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, con solución única. 2. **Caso $\alpha = 1$**: La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Observamos que la suma de la primera y tercera fila da la segunda ($R_1 + R_3 = R_2$): $$(1+1, 2-1, -1+2, 1+2) = (2, 1, 1, 3)$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. 3. **Caso $\alpha = -2$**: La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}$. En la matriz $A$, las dos primeras filas son proporcionales en sus coeficientes ($R_2 = -R_1$), pero en $A^*$, los términos independientes no cumplen esa proporción ($-2 \cdot -1 = 2 \neq 0$). Calculamos un menor de orden 3 en $A^*$ usando las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & -4 \end{vmatrix} = (-8 + 0 + 8) - (-4 + 0 + 8) = 0 - 4 = -4 \neq 0$$ Entonces $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Sistema Incompatible (SI)**.

**Resolver el sistema para $\alpha = 1$, si es posible.** Como hemos visto que para $\alpha = 1$ el sistema es SCI, eliminamos la ecuación dependiente (por ejemplo, la segunda) y nos quedamos con: $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: $$\begin{cases} x + 2y = 1 + \lambda \\ x - y = 2 - 2\lambda \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x - y) = (1 + \lambda) - (2 - 2\lambda)$$ $$3y = 3\lambda - 1 \implies y = \lambda - \frac{1}{3}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$x = (2 - 2\lambda) + y = 2 - 2\lambda + \lambda - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1}{3} - \lambda = \frac{5}{3} - \lambda$$ ✅ **Resultado para $\alpha = 1$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{5}{3} - \lambda, \lambda - \frac{1}{3}, \lambda \right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$