Cálculo de abscisas y áreas entre curvas

**P8) Calcula los valores de las abscisas $a$ y $b$ que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:** Observando el gráfico proporcionado, identificamos que las abscisas $a$ y $b$ corresponden a puntos clave de las funciones $f(x) = \frac{e}{x}$ y $g(x) = \ln x$. 1. La abscisa **$a$** se sitúa donde la función $g(x) = \ln x$ corta al eje $OX$ (eje de abscisas). 2. La abscisa **$b$** se sitúa donde ambas funciones, $f(x)$ y $g(x)$, se intersectan en el valor de ordenada $y = 1$. Calculamos **$a$** igualando $g(x)$ a cero: $$\ln a = 0 \implies a = e^0 = 1$$ Calculamos **$b$** igualando ambas funciones (o simplemente comprobando el punto donde $y=1$): $$g(b) = 1 \implies \ln b = 1 \implies b = e^1 = e$$ $$f(b) = 1 \implies \frac{e}{b} = 1 \implies b = e$$ 💡 **Tip:** El número $e$ es aproximadamente $2,718$. Por lo tanto, $a=1$ y $b=e$ son valores coherentes con la representación gráfica. $$\boxed{a = 1, \quad b = e}$$

La primera región sombreada ($S_1$) está delimitada superiormente por la función $f(x) = \frac{e}{x}$ e inferiormente por la recta horizontal $y = 1$, en el intervalo que va desde $x = 1$ hasta $x = e$. Planteamos la integral definida para el área entre estas dos curvas: $$S_1 = \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} - 1 \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( \frac{e}{x} - 1 \right) dx = e \ln|x| - x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$S_1 = [e \ln x - x]_1^e = (e \ln e - e) - (e \ln 1 - 1)$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$: $$S_1 = (e \cdot 1 - e) - (e \cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1$$ $$\boxed{S_1 = 1 \text{ u}^2}$$

La segunda región sombreada ($S_2$) está delimitada superiormente por la función $g(x) = \ln x$ e inferiormente por el eje $OX$ ($y = 0$), en el mismo intervalo de abscisas, desde $x = a = 1$ hasta $x = b = e$. Planteamos la integral definida: $$S_2 = \int_{1}^{e} \ln x \, dx$$ Para resolver esta integral, utilizamos el método de **integración por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Sea $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$S_2 = [x \ln x - x]_1^e = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1)$$ $$S_2 = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$ $$\boxed{S_2 = 1 \text{ u}^2}$$

Tras realizar los cálculos pertinentes para ambas regiones: - El área de la región superior respecto a la recta $y=1$ es $S_1 = 1$. - El área de la región inferior bajo la curva logarítmica es $S_2 = 1$. Comparando los resultados: $$S_1 = S_2 = 1$$ Queda comprobado que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = e, \quad S_1 = S_2 = 1}$$