Continuidad y Teorema del Valor Medio

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$.** Para que la función $f(x) = \ln(g(x))$ sea continua en el intervalo $[1, 3]$, es necesario que la función interior $g(x) = \frac{5x - 2 - x \sin \frac{\pi x}{2}}{x^2 - 4x + 6}$ sea continua y estrictamente positiva en dicho intervalo. Primero, analizamos el denominador $Q(x) = x^2 - 4x + 6$: Calculamos sus raíces: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2}$$ Como el discriminante es negativo, $Q(x)$ no tiene raíces reales y, al ser una parábola con coeficiente principal positivo, $Q(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Si un polinomio de segundo grado no tiene raíces reales y el coeficiente de $x^2$ es positivo, el polinomio siempre es positivo.

Analizamos ahora el numerador $P(x) = 5x - 2 - x \sin \frac{\pi x}{2}$ en el intervalo $[1, 3]$. Sabemos que $-1 \le \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$. Por lo tanto, $-x \le -x \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le x$. Podemos acotar inferiormente a $P(x)$: $$P(x) = 5x - 2 - x \sin \frac{\pi x}{2} \ge 5x - 2 - x = 4x - 2$$ En el intervalo $[1, 3]$, el valor mínimo de $4x - 2$ es $4(1) - 2 = 2$. Como $P(x) \ge 4x - 2$ y $4x - 2 \ge 2$ en el intervalo dado, entonces **$P(x) > 0$** para todo $x \in [1, 3]$. 💡 **Tip:** Para demostrar que una función es positiva, a veces es más sencillo acotarla por otra función más simple.

Concluimos la continuidad de $f(x)$: 1. $g(x)$ es el cociente de dos funciones continuas (polinomios y trigonométricas) donde el denominador no se anula. Por tanto, $g(x)$ es continua en $[1, 3]$. 2. Hemos demostrado que $g(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ en $[1, 3]$ ya que tanto $P(x)$ como $Q(x)$ son positivos en ese intervalo. 3. La función logaritmo es continua para valores positivos. Por la composición de funciones continuas, $f(x) = \ln(g(x))$ es continua en $[1, 3]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [1, 3]}$$

**b) Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 3/2 \ln 2$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.** Para resolver este apartado utilizaremos el **Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)**. **Teorema:** Si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ **Justificación de su uso:** - Ya demostramos que $f$ es continua en $[1, 3]$. - $f$ es derivable en $(1, 3)$ por ser composición de funciones derivables donde el argumento del logaritmo es positivo y el denominador del cociente no es cero.

Calculamos $f(1)$ y $f(3)$ para aplicar la fórmula: Para $x = 1$: $$f(1) = \ln \left( \frac{5(1) - 2 - 1 \sin \frac{\pi}{2}}{1^2 - 4(1) + 6} \right) = \ln \left( \frac{3 - 1}{3} \right) = \ln \left( \frac{2}{3} \right)$$ Utilizando propiedades de logaritmos: $f(1) = \ln 2 - \ln 3$. Para $x = 3$: $$f(3) = \ln \left( \frac{5(3) - 2 - 3 \sin \frac{3\pi}{2}}{3^2 - 4(3) + 6} \right) = \ln \left( \frac{13 - 3(-1)}{9 - 12 + 6} \right) = \ln \left( \frac{16}{3} \right)$$ Utilizando propiedades: $f(3) = \ln 16 - \ln 3 = \ln(2^4) - \ln 3 = 4 \ln 2 - \ln 3$. 💡 **Tip:** Recuerda que $\sin(\pi/2) = 1$ y $\sin(3\pi/2) = -1$.

Aplicamos la fórmula del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[1, 3]$: $$f'(\alpha) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$$ Sustituimos los valores hallados: $$f'(\alpha) = \frac{(4 \ln 2 - \ln 3) - (\ln 2 - \ln 3)}{2}$$ $$f'(\alpha) = \frac{4 \ln 2 - \ln 3 - \ln 2 + \ln 3}{2} = \frac{3 \ln 2}{2}$$ Como se cumplen las hipótesis del Teorema de Lagrange, queda demostrado que existe un $\alpha \in (1, 3)$ tal que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(\alpha) = \frac{3}{2} \ln 2}$$