Cálculo de asíntotas y posición de la curva

Para hallar las asíntotas, primero debemos determinar el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos $x^2 - 4 = 0$: $$x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = 2, \quad x = -2$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$$ Los puntos $x = -2$ y $x = 2$ son los candidatos a presentar **asíntotas verticales**. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional excluye los valores que hacen cero el denominador. Estos puntos suelen ser donde se encuentran las asíntotas verticales.

Estudiamos el límite de la función en los puntos críticos $x = -2$ y $x = 2$. **Para $x = -2$:** $$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{(-2)^3 - 4(-2) - 1}{(-2)^2 - 4} = \frac{-8 + 8 - 1}{4 - 4} = \frac{-1}{0} = \infty$$ Calculamos los límites laterales para determinar la posición: - Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to -2^-} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$ - Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to -2^+} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$ **Para $x = 2$:** $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{2^3 - 4(2) - 1}{2^2 - 4} = \frac{8 - 8 - 1}{4 - 4} = \frac{-1}{0} = \infty$$ Límites laterales: - Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$ - Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$ ✅ **Resultado (asíntotas verticales):** $$\boxed{x = -2, \quad x = 2}$$

**Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} = \pm \infty$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas:** Dado que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua del tipo $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x - 1}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x - 1}{x^3 - 4x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x - 1 - (x^3 - 4x)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x^2 - 4} = 0$$ La asíntota oblicua es **$y = x$**. 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica del numerador entre el denominador. El cociente es la asíntota. ✅ **Resultado (asíntota oblicua):** $$\boxed{y = x}$$

Para estudiar la posición de la curva $f(x)$ respecto a la asíntota oblicua $y = x$, analizamos el signo de la diferencia $d(x) = f(x) - (mx + n)$ cuando $x \to \pm \infty$. De los cálculos anteriores, sabemos que: $$f(x) - x = \frac{-1}{x^2 - 4}$$ **Cuando $x \to +\infty$:** $$d(x) = \frac{-1}{(+\infty)^2 - 4} = \frac{-1}{+} < 0$$ Al ser el resultado negativo, la función está **por debajo** de la asíntota. **Cuando $x \to -\infty$:** $$d(x) = \frac{-1}{(-\infty)^2 - 4} = \frac{-1}{+} < 0$$ Al ser el resultado negativo, la función está **por debajo** de la asíntota. ✅ **Resultado (Posición):** $$\boxed{\text{En ambos infinitos, la curva se encuentra por debajo de la asíntota } y = x}$$

A continuación, se muestra la gráfica de la función junto con sus asíntotas verticales ($x=-2, x=2$) y su asíntota oblicua ($y=x$) para visualizar la posición de la curva estudiada.