Continuidad y Teorema de los Valores Intermedios

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$.** La función dada es de tipo potencia-exponencial, de la forma $f(x) = g(x)^{h(x)}$. Para que una función de este tipo sea continua en un punto, se deben cumplir tres condiciones: 1. La base $g(x)$ debe ser continua y positiva ($g(x) > 0$). 2. El exponente $h(x)$ debe ser continuo. 3. El conjunto de puntos debe pertenecer al dominio de definición de ambas funciones. En nuestro caso: - Base: $g(x) = x^2 - 3x + 10$ - Exponente: $h(x) = \log \left[ 2^{x-1} \cdot \sin \left( \frac{\pi(x+2)}{6} \right) \right]$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $A^B$ esté bien definida y sea continua en el campo real, necesitamos $A > 0$ para evitar problemas con exponentes no enteros o negativos.

Estudiamos la base $g(x) = x^2 - 3x + 10$. Es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, y en particular en $[1, 3]$. Para comprobar si es siempre positiva, calculamos sus raíces: $$x^2 - 3x + 10 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-31}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta < 0$), la parábola no corta al eje $X$. Dado que el coeficiente de $x^2$ es positivo ($1 > 0$), la función es **siempre positiva** para cualquier $x \in \mathbb{R}$. $$\boxed{g(x) > 0, \, \forall x \in [1, 3]}$$

El exponente $h(x) = \log \left[ 2^{x-1} \cdot \sin \left( \frac{\pi(x+2)}{6} \right) \right]$ es una composición de funciones continuas (logarítmica, exponencial y trigonométrica). Será continua si el argumento del logaritmo es estrictamente positivo. Sea $u(x) = 2^{x-1} \cdot \sin \left( \frac{\pi(x+2)}{6} \right)$. Analizamos su signo en $x \in [1, 3]$: 1. $2^{x-1}$ es una función exponencial, que es siempre positiva para cualquier $x$. 2. Analizamos el seno: si $x \in [1, 3]$, entonces el argumento del seno varía: - Para $x = 1 \implies \frac{\pi(1+2)}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ - Para $x = 3 \implies \frac{\pi(3+2)}{6} = \frac{5\pi}{6}$ En el intervalo $\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \right]$, la función seno se encuentra en el primer y segundo cuadrante, donde es **positiva** (su valor mínimo en este intervalo es $\sin(5\pi/6) = 0.5$ y el máximo es $\sin(\pi/2) = 1$). Como el producto de dos funciones positivas es positivo, el logaritmo está bien definido y es continuo en $[1, 3]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en [1, 3] por ser composición y potencia de funciones continuas en dicho intervalo.}}$$

**b) Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.** Utilizaremos el **Teorema de los Valores Intermedios (o Teorema de Darboux)**. **Teorema:** Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. Es decir, para cualquier valor $k$ tal que $f(a) < k < f(b)$ (o viceversa), existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que $f(\alpha) = k$. Justificación de uso: 1. En el apartado anterior hemos demostrado que $f(x)$ es **continua en $[1, 3]$**. 2. Solo queda comprobar que el valor $k = \frac{3}{2} = 1.5$ se encuentra entre los valores de la función en los extremos del intervalo.

Calculamos el valor de la función en $x = 1$: $$f(1) = (1^2 - 3(1) + 10)^{\log [2^{1-1} \cdot \sin \frac{\pi(1+2)}{6}]} = 8^{\log [2^0 \cdot \sin \frac{\pi}{2}]} = 8^{\log [1 \cdot 1]} = 8^{\log 1}$$ Como $\log 1 = 0$ (en cualquier base): $$f(1) = 8^0 = 1$$ Calculamos el valor de la función en $x = 3$ (asumiendo $\log$ como logaritmo decimal, base 10): $$f(3) = (3^2 - 3(3) + 10)^{\log [2^{3-1} \cdot \sin \frac{\pi(3+2)}{6}]} = 10^{\log [2^2 \cdot \sin \frac{5\pi}{6}]} = 10^{\log [4 \cdot \frac{1}{2}]} = 10^{\log 2}$$ Por la definición de logaritmo ($10^{\log_{10} a} = a$): $$f(3) = 2$$ 💡 **Tip:** Si el logaritmo fuera neperiano ($\ln$), el resultado sería $10^{\ln 2} \approx 4.93$, lo cual no cambiaría la conclusión final ya que $1.5$ seguiría estando entre los extremos.

Resumimos los datos obtenidos: - $f(x)$ es continua en $[1, 3]$. - $f(1) = 1$. - $f(3) = 2$. Dado que el valor buscado es $k = 1.5$ y se cumple que: $$f(1) < 1.5 < f(3) \implies 1 < 1.5 < 2$$ Por el **Teorema de los Valores Intermedios**, existe al menos un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 1.5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists \alpha \in (1, 3) : f(\alpha) = \frac{3}{2}}$$