Vértices de un paralelogramo dado un lado y el perímetro

Para empezar, debemos identificar cómo están colocados los vértices. Se nos dice que un lado está sobre la recta $r$ y otro lado está formado por $A$ y $B$. Comprobamos si los puntos $A$ o $B$ pertenecen a la recta $r \equiv \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}$: - Para $A(-1, -2, 3)$: $$\frac{-1-1}{-2} = \frac{-2+1}{-1} = \frac{3-1}{2} \implies \frac{-2}{-2} = \frac{-1}{-1} = \frac{2}{2} \implies 1 = 1 = 1$$ El punto **$A$ pertenece a la recta $r$**. - Para $B(2, -2, -1)$: $$\frac{2-1}{-2} = \frac{-2+1}{-1} = \frac{-1-1}{2} \implies -\frac{1}{2} \neq 1 \neq -1$$ El punto **$B$ no pertenece a la recta $r$**. Como el lado $AB$ es uno de los lados del paralelogramo y $A$ está en $r$ pero $B$ no, la recta $r$ debe contener al otro lado que parte de $A$. Llamemos a los vértices $A, B, C, D$ en orden. Entonces, el lado $AD$ está sobre la recta $r$.

Calculamos la longitud del lado determinado por los puntos $A(-1, -2, 3)$ y $B(2, -2, -1)$. Para ello, hallamos el módulo del vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = (2 - (-1), -2 - (-2), -1 - 3) = (3, 0, -4)$$ La longitud (módulo) es: $$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 u.$$ $$\boxed{L_{AB} = 5 u}$$

El enunciado indica que el perímetro del paralelogramo es $16 u$. En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales, por lo que el perímetro es: $$P = 2 \cdot L_{AB} + 2 \cdot L_{AD} = 16$$ Sustituimos el valor de $L_{AB} = 5$: $$2(5) + 2 \cdot L_{AD} = 16 \implies 10 + 2 \cdot L_{AD} = 16$$ $$2 \cdot L_{AD} = 6 \implies L_{AD} = 3 u.$$ Por tanto, el vértice $D$ debe estar en la recta $r$ a una distancia de $3 u$ del punto $A$. 💡 **Tip:** El perímetro de cualquier paralelogramo de lados $a$ y $b$ es siempre $2a + 2b$.

Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas partiendo de su forma continua $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2} = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $D$ de la recta tendrá la forma $D(1 - 2\lambda, -1 - \lambda, 1 + 2\lambda)$. Buscamos que la distancia entre $A(-1, -2, 3)$ y $D$ sea $3$: $$\vec{AD} = (1 - 2\lambda - (-1), -1 - \lambda - (-2), 1 + 2\lambda - 3) = (2 - 2\lambda, 1 - \lambda, -2 + 2\lambda)$$ Calculamos su módulo e igualamos a 3: $$\sqrt{(2 - 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (-2 + 2\lambda)^2} = 3$$ Elevamos al cuadrado: $$[2(1 - \lambda)]^2 + (1 - \lambda)^2 + [-2(1 - \lambda)]^2 = 9$$ $$4(1 - \lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + 4(1 - \lambda)^2 = 9 \implies 9(1 - \lambda)^2 = 9$$ $$(1 - \lambda)^2 = 1 \implies 1 - \lambda = \pm 1$$ Esto nos da dos posibles valores para $\lambda$: 1. $1 - \lambda = 1 \implies \lambda_1 = 0$ 2. $1 - \lambda = -1 \implies \lambda_2 = 2$ Obtenemos dos posibles puntos para $D$: - Si $\lambda = 0 \implies D_1(1, -1, 1)$ - Si $\lambda = 2 \implies D_2(1-4, -1-2, 1+4) = D_2(-3, -3, 5)$

Para cada posible punto $D$, calculamos el punto $C$ correspondiente usando la propiedad de los paralelogramos: $\vec{BC} = \vec{AD}$, lo que equivale a decir que $C = B + \vec{AD}$. **Caso 1: Usando $D_1(1, -1, 1)$** $$\vec{AD_1} = (1 - (-1), -1 - (-2), 1 - 3) = (2, 1, -2)$$ $$C_1 = B + \vec{AD_1} = (2, -2, -1) + (2, 1, -2) = (4, -1, -3)$$ **Caso 2: Usando $D_2(-3, -3, 5)$** $$\vec{AD_2} = (-3 - (-1), -3 - (-2), 5 - 3) = (-2, -1, 2)$$ $$C_2 = B + \vec{AD_2} = (2, -2, -1) + (-2, -1, 2) = (0, -3, 1)$$ Existen dos posibles soluciones para los vértices restantes: ✅ **Resultado:** $$\boxed{(C, D) = (4, -1, -3), (1, -1, 1) \text{ o } (C, D) = (0, -3, 1), (-3, -3, 5)}$$