Ecuación del plano equidistante a dos rectas

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ y $\vec{n_2} = (1, 6, -1)$. $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 6 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{v_r} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 6) \mathbf{i} - (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \mathbf{j} + (1 \cdot 6 - 2 \cdot 1) \mathbf{k}$$ $$\vec{v_r} = (-2 - 6) \mathbf{i} - (-1 - 1) \mathbf{j} + (6 - 2) \mathbf{k} = (-8, 2, 4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: **$\vec{v_r} = (-4, 1, 2)$**. Ahora buscamos un punto $P_r$ de la recta. Si sumamos las dos ecuaciones de los planos: $$(x + 2y + z + 3) + (x + 6y - z - 7) = 0 \implies 2x + 8y - 4 = 0 \implies x + 4y = 2$$ Si hacemos $y = 0$, entonces $x = 2$. Sustituyendo en la primera ecuación: $$2 + 2(0) + z + 3 = 0 \implies z = -5$$ 💡 **Tip:** Para hallar un punto en una recta dada por dos planos, basta con fijar una coordenada (como $y=0$) y resolver el sistema resultante. $$\boxed{P_r(2, 0, -5), \quad \vec{v_r} = (-4, 1, 2)}$$

La recta $s$ está en forma continua: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 2}{1}$. De los denominadores extraemos directamente el vector director: $$\vec{v_s} = (3, 3, 1)$$ De los numeradores (cambiando el signo) extraemos un punto de la recta: $$P_s = (3, -2, -2)$$ $$\boxed{P_s(3, -2, -2), \quad \vec{v_s} = (3, 3, 1)}$$

Como el plano $\pi$ debe ser paralelo a las rectas $r$ y $s$, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Por tanto, calculamos su producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) \mathbf{i} - ((-4) \cdot 1 - 2 \cdot 3) \mathbf{j} + ((-4) \cdot 3 - 1 \cdot 3) \mathbf{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (1 - 6) \mathbf{i} - (-4 - 6) \mathbf{j} + (-12 - 3) \mathbf{k} = (-5, 10, -15)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $-5$: **$\vec{n_\pi} = (1, -2, 3)$**. La ecuación general del plano será de la forma: $$x - 2y + 3z + D = 0$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$. Si el plano es paralelo a dos vectores, el normal es su producto vectorial.

El plano equidista de las dos rectas. Como es paralelo a ellas, la distancia desde cualquier punto de $r$ al plano debe ser igual a la distancia desde cualquier punto de $s$ al mismo plano: $$d(P_r, \pi) = d(P_s, \pi)$$ Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$\frac{|1(2) - 2(0) + 3(-5) + D|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{|1(3) - 2(-2) + 3(-2) + D|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}}$$ $$\frac{|2 - 15 + D|}{\sqrt{14}} = \frac{|3 + 4 - 6 + D|}{\sqrt{14}}$$ $$|D - 13| = |D + 1|$$ Para resolver esta ecuación con valores absolutos, planteamos las dos posibilidades: 1. $D - 13 = D + 1 \implies -13 = 1$ (Imposible). 2. $D - 13 = -(D + 1) \implies D - 13 = -D - 1 \implies 2D = 12 \implies **D = 6**$. 💡 **Tip:** Al resolver $|a| = |b|$, si $a=b$ no da solución, la solución debe venir de $a=-b$, que corresponde al plano situado justo en medio de ambos puntos. $$\boxed{D = 6}$$

Sustituimos el valor de $D$ encontrado en la ecuación general del paso 3: $$x - 2y + 3z + 6 = 0$$ Podemos comprobar que las distancias son iguales: $$d(P_r, \pi) = \frac{|2 - 0 - 15 + 6|}{\sqrt{14}} = \frac{|-7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$$ $$d(P_s, \pi) = \frac{|3 + 4 - 6 + 6|}{\sqrt{14}} = \frac{|7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$$ Efectivamente, el plano equidista de ambas rectas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x - 2y + 3z + 6 = 0}$$