Determinantes y potencias de matrices

**P2) Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^3| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz:** **$A = \begin{pmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1-t & -2 \end{pmatrix}$** En primer lugar, aplicamos la propiedad de los determinantes que relaciona la potencia de una matriz con su determinante: $$|A^n| = (|A|)^n$$ En nuestro caso, la condición $|A^3| = 8$ se transforma en: $$(|A|)^3 = 8$$ Extrayendo la raíz cúbica en ambos lados, obtenemos que el determinante de la matriz $A$ debe valer: $$|A| = \sqrt[3]{8} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes ($|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$), de lo cual se deduce que $|A^n| = |A|^n$. $$\boxed{|A| = 2}$$

Para calcular $|A|$, escribimos el determinante y observamos si podemos simplificarlo antes de desarrollar por Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1-t & -2 \end{vmatrix}$$ Si observamos la primera y la tercera fila, vemos que los términos en $t$ son opuestos. Sumamos la primera fila a la tercera ($F_3 \leftarrow F_3 + F_1$): $$|A| = \begin{vmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ (1-t)+(t-1) & (-1-t)+(t+1) & -2+3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = \begin{vmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al realizar operaciones elementales de fila (sumar a una fila un múltiplo de otra), el valor del determinante no varía. Esto es muy útil para generar ceros.

Ahora que tenemos dos ceros en la tercera fila, desarrollamos el determinante por los elementos de dicha fila (Teorema de Laplace): $$|A| = 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} t-1 & t+1 \\ t^2-t & t^2+2t \end{vmatrix}$$ Como $(-1)^6 = 1$, calculamos el determinante de orden 2: $$|A| = (t-1)(t^2+2t) - (t+1)(t^2-t)$$ Podemos factorizar términos para simplificar el cálculo. Observamos que $t^2-t = t(t-1)$: $$|A| = (t-1)(t^2+2t) - (t+1)t(t-1)$$ Factorizamos $(t-1)$: $$|A| = (t-1) [ (t^2+2t) - t(t+1) ]$$ $$|A| = (t-1) [ t^2+2t - t^2 - t ]$$ $$|A| = (t-1) [ t ] = t^2 - t$$ $$\boxed{|A| = t^2 - t}$$

Igualamos el valor obtenido del determinante al valor que dedujimos en el primer paso ($|A| = 2$): $$t^2 - t = 2$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 - t - 2 = 0$$ Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$: $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores para $t$: 1. $t_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ 2. $t_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = 2, \quad t = -1}$$