Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a-1 & -1 & 0 \ a-1 & a+1 & a-2 \ -2a+2 & -a & a^2-a-2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a-1 & -1 & 0 & 3 \ a-1 & a+1 & a-2 & -2a \ -2a+2 & -a & a^2-a-2 & 3a-1 \end{pmatrix}$$ Para estudiar el sistema, aplicaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Este resultado permite clasificar el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($rg(A)$) con el rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$). Su uso está justificado ya que es el criterio fundamental para determinar la existencia y el número de soluciones en sistemas lineales.

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $a$. Observamos que en la primera columna podemos factorizar $(a-1)$: $$|A| = \begin{vmatrix} a-1 & -1 & 0 \ a-1 & a+1 & a-2 \ -2(a-1) & -a & (a-2)(a+1) \end{vmatrix} = (a-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \ 1 & a+1 & a-2 \ -2 & -a & (a-2)(a+1) \end{vmatrix}$$ Aplicamos transformaciones elementales por filas ($F_2 \to F_2 - F_1$ y $F_3 \to F_3 + 2F_1$): $$|A| = (a-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & a+2 & a-2 \ 0 & -a-2 & (a-2)(a+1) \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna: $$|A| = (a-1) \begin{vmatrix} a+2 & a-2 \ -(a+2) & (a-2)(a+1) \end{vmatrix}$$ Factorizamos $(a+2)$ de la primera columna y $(a-2)$ de la segunda: $$|A| = (a-1)(a+2)(a-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \ -1 & a+1 \end{vmatrix} = (a-1)(a+2)(a-2)(a+1 - (-1))$$ $$|A| = (a-1)(a-2)(a+2)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de discusión: $$|A| = 0 \implies a=1, \, a=2, \, a=-2$$

Analizamos los rangos basándonos en los valores obtenidos: * **Caso 1: $a \neq 1, 2, -2$** En este caso, $|A| \neq 0 \implies rg(A) = 3$. Como el rango máximo es 3, $rg(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. * **Caso 2: $a = 1$** $A^* = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 3 \ 0 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante de la submatriz formada por las últimas 3 columnas es $\begin{vmatrix} -1 & 0 & 3 \ 2 & -1 & -2 \ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -9 \neq 0$. Por tanto, $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 3: $a = 2$** $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 \ 1 & 3 & 0 & -4 \ -2 & -2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$. El determinante de las columnas 1, 2 y 4 es $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \ 1 & 3 & -4 \ -2 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 16 \neq 0$. Por tanto, $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 4: $a = -2$** $A^* = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 0 & 3 \ -3 & -1 & -4 & 4 \ 6 & 2 & 4 & -7 \end{pmatrix}$. Vemos que $rg(A) = 2$ (pues $\begin{vmatrix} -1 & 0 \ -1 & -4 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$). Al calcular el determinante de cualquier submatriz $3 \times 3$ de $A^*$ (por ejemplo, columnas 2, 3 y 4), obtenemos $0$. Por tanto, $rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la de coeficientes, el sistema no tiene solución.

Para $a \neq 1, 2, -2$, resolvemos por la regla de Cramer. Ya conocemos $|A| = (a-1)(a-2)(a+2)^2$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: - $|A_x| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 0 \ -2a & a+1 & a-2 \ 3a-1 & -a & (a-2)(a+1) \end{vmatrix} = (a-2)(a+2)^2 \implies x = \frac{(a-2)(a+2)^2}{(a-1)(a-2)(a+2)^2} = \frac{1}{a-1}$ - De la primera ecuación: $y = (a-1)x - 3 = (a-1)\frac{1}{a-1} - 3 = 1 - 3 = -2$ - De la segunda ecuación sustituyendo $x$ e $y$: $1 + (a+1)(-2) - (2-a)z = -2a \implies 1 - 2a - 2 + (a-2)z = -2a \implies (a-2)z = 1 \implies z = \frac{1}{a-2}$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{1}{a-1}, \quad y = -2, \quad z = \frac{1}{a-2}}$$

Para $a = -2$, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} -3x - y = 3 \ -3x - y - 4z = 4 \ 6x + 2y + 4z = -7 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(-3x - y - 4z) - (-3x - y) = 4 - 3 \implies -4z = 1 \implies z = -\frac{1}{4}$. De la primera ecuación, despejamos $y$ en función de $x$: $y = -3x - 3$. Si llamamos $x = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$, tenemos: ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = -3 - 3\lambda \\ z = -1/4 \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$