Área de una región delimitada por una parábola

**P8) Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada.** En primer lugar, analizamos la función dada: $f(x) = -x^2 - 4x$. Se trata de una parábola cóncava (hacia abajo) que corta al eje $OX$ en dos puntos. Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas, resolvemos $f(x) = 0$: $$-x^2 - 4x = 0 \implies -x(x + 4) = 0$$ De aquí obtenemos las soluciones: - $x = 0$ - $x = -4$ Observando el gráfico, vemos que la región sombreada está limitada por la curva, el eje $OX$ y la recta vertical que pasa por el punto **$-3$**. El límite izquierdo de la región coincide con la raíz de la función en **$x = -4$**. Por tanto, los límites de integración son $a = -4$ y $b = -3$.

Como en el intervalo $[-4, -3]$ la función $f(x)$ se encuentra por encima del eje $OX$ ($f(x) \ge 0$), el área se calcula directamente mediante la integral definida: $$A = \int_{-4}^{-3} f(x) \, dx = \int_{-4}^{-3} (-x^2 - 4x) \, dx$$ 💡 **Recuerda que:** Si la función estuviera por debajo del eje, deberíamos tomar el valor absoluto de la integral o cambiarle el signo.

Calculamos la integral indefinida (la primitiva) aplicando las reglas básicas de integración para potencias: $$\int (-x^2 - 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} - 2x^2 + C$$ Llamamos $G(x) = -\dfrac{x^3}{3} - 2x^2$ a nuestra función primitiva para aplicar la Regla de Barrow. $$\boxed{G(x) = -\dfrac{x^3}{3} - 2x^2}$$

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración: $$A = G(-3) - G(-4)$$ 1. **Evaluamos en $x = -3$:** $$G(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 = -\frac{-27}{3} - 2(9) = 9 - 18 = -9$$ 2. **Evaluamos en $x = -4$:** $$G(-4) = -\frac{(-4)^3}{3} - 2(-4)^2 = -\frac{-64}{3} - 2(16) = \frac{64}{3} - 32 = \frac{64 - 96}{3} = -\frac{32}{3}$$ 3. **Restamos los valores:** $$A = -9 - \left( -\frac{32}{3} \right) = -9 + \frac{32}{3} = \frac{-27 + 32}{3} = \frac{5}{3}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, revisa los límites o el orden de las funciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{5}{3} \text{ u}^2 \approx 1.67 \text{ u}^2}$$