Continuidad y Teorema de Rolle

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$. (0.75 puntos)** Analizamos la composición de la función $f(x) = \sqrt{g(x)}$, donde $g(x) = x + \sin \frac{\pi x}{2}$. 1. **Continuidad de la función interna**: La función $g(x)$ es la suma de una función polinómica ($x$) y una función trigonométrica compuesta ($\sin \frac{\pi x}{2}$), ambas continuas en todo $\mathbb{R}$. Por tanto, $g(x)$ es continua en el intervalo $[1, 3]$. 2. **Dominio de la raíz cuadrada**: La función raíz cuadrada $\sqrt{u}$ es continua para todo $u \ge 0$. Debemos comprobar que el radicando $g(x)$ no es negativo en el intervalo dado: * Para $x \in [1, 3]$, el valor mínimo de $x$ es $1$. * El valor mínimo de la función seno es $-1$. * Por tanto, $g(x) = x + \sin \frac{\pi x}{2} \ge 1 + (-1) = 0$. De hecho, en el intervalo $[1, 3]$, el radicando siempre es mayor o igual a $2$ en los extremos y en el punto medio: - $g(1) = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$ - $g(2) = 2 + \sin(\pi) = 2 + 0 = 2$ - $g(3) = 3 + \sin(\frac{3\pi}{2}) = 3 - 1 = 2$ Al ser $g(x)$ continua y $g(x) \ge 0$ en $[1, 3]$, la función $f(x)$ es continua en dicho intervalo. 💡 **Tip:** Una función compuesta $f(x) = h(g(x))$ es continua en un punto si $g$ es continua en ese punto y $h$ es continua en $g(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [1, 3]}$$

**b) Demuestra que existen dos valores $\alpha \in (1, 2)$ y $\beta \in (2, 3)$ tales que $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$. Enuncia el/los resulatdo(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1.75 puntos)** Para demostrar la existencia de puntos donde la derivada se anula, utilizaremos el **Teorema de Rolle**. > **Teorema de Rolle:** Sea $f$ una función tal que: > 1. Es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. > 2. Es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. > 3. Se cumple que $f(a) = f(b)$. > Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$. **Justificación para $\alpha \in (1, 2)$:** - **Continuidad**: $f$ es continua en $[1, 2]$ (demostrado en el apartado anterior). - **Derivabilidad**: La derivada es $f'(x) = \frac{1 + \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}}{2\sqrt{x + \sin \frac{\pi x}{2}}}$. Como vimos que el radicando $x + \sin \frac{\pi x}{2} > 0$ en $(1, 2)$, la función es derivable en ese intervalo abierto. - **Igualdad en los extremos**: $$f(1) = \sqrt{1 + \sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$ $$f(2) = \sqrt{2 + \sin\pi} = \sqrt{2+0} = \sqrt{2}$$ Como $f(1) = f(2)$, por el Teorema de Rolle existe un $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rolle garantiza la existencia de un extremo relativo o punto crítico donde la tangente es horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists \alpha \in (1, 2) \text{ tal que } f'(\alpha) = 0}$$

Para demostrar la existencia de $\beta \in (2, 3)$, aplicamos de nuevo el **Teorema de Rolle** en el intervalo $[2, 3]$: - **Continuidad**: $f$ es continua en $[2, 3]$. - **Derivabilidad**: $f$ es derivable en $(2, 3)$ ya que el radicando no se anula en dicho intervalo. - **Igualdad en los extremos**: $$f(2) = \sqrt{2}$$ $$f(3) = \sqrt{3 + \sin\frac{3\pi}{2}} = \sqrt{3-1} = \sqrt{2}$$ Al cumplirse que $f(2) = f(3) = \sqrt{2}$, se satisfacen todas las hipótesis del teorema. Por tanto, existe al menos un valor $\beta \in (2, 3)$ tal que $f'(\beta) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists \beta \in (2, 3) \text{ tal que } f'(\beta) = 0}$$