Continuidad y Teorema de Bolzano con funciones logarítmicas

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[6, 7]$.** Para analizar la continuidad de $f(x)$, observamos que es una función compuesta de la forma $f(x) = \log_2(g(x))$, donde: $$g(x) = \sin \left( \frac{\pi (x+1)}{4} \right) + 2^{\frac{x-5}{2}}$$ La función $g(x)$ es la suma de dos funciones: 1. Una función trigonométrica: $s(x) = \sin \left( \frac{\pi (x+1)}{4} \right)$, que es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser composición de una función lineal y el seno. 2. Una función exponencial: $e(x) = 2^{\frac{x-5}{2}}$, que es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser una función exponencial con exponente lineal. Al ser suma de funciones continuas, **$g(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$** y, por tanto, en el intervalo $[6, 7]$. 💡 **Tip:** Recuerda que la función logaritmo $\log_a(u)$ es continua siempre que su argumento sea estrictamente positivo ($u \gt 0$).

Para que $f(x) = \log_2(g(x))$ sea continua en $[6, 7]$, debemos asegurar que el argumento del logaritmo sea positivo ($g(x) \gt 0$) para todo $x \in [6, 7]$. Analicemos los valores de los sumandos en dicho intervalo: - El término exponencial $2^{\frac{x-5}{2}}$ es siempre positivo. En el intervalo $[6, 7]$, su valor mínimo se alcanza en $x=6$: $$2^{\frac{6-5}{2}} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1,414$$ - El término trigonométrico $\sin \left( \frac{\pi (x+1)}{4} \right)$ oscila entre $-1$ y $1$. Dado que $\sqrt{2} \gt 1$, la suma siempre será positiva: $$g(x) \ge -1 + \sqrt{2} \approx 0,414 \gt 0$$ Como $g(x)$ es continua y positiva en $[6, 7]$, la función $f(x) = \log_2(g(x))$ es continua en dicho intervalo por ser composición de funciones continuas en sus dominios. $$\boxed{\text{f(x) es continua en } [6, 7]}$$

**b) Demuestra que existe un valor $\alpha \in (6, 7)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resulatdo(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.** Para demostrar la existencia de una raíz en un intervalo, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. **Teorema de Bolzano:** Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los signos de la función en los extremos son distintos (es decir, $f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que $f(\alpha) = 0$. 💡 **Tip:** Este teorema garantiza la existencia de al menos una solución a la ecuación $f(x)=0$ (punto de corte con el eje OX) si hay cambio de signo en un intervalo de continuidad.

Ya hemos demostrado en el apartado anterior que $f(x)$ es continua en $[6, 7]$. Ahora calculamos los valores en los extremos: Para $x=6$: $$f(6) = \log_2 \left[ \sin \frac{\pi (6+1)}{4} + 2^{\frac{6-5}{2}} \right] = \log_2 \left[ \sin \frac{7\pi}{4} + \sqrt{2} \right]$$ Sabemos que $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$f(6) = \log_2 \left[ -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \right] = \log_2 \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \right] = \log_2 (2^{1/2} \cdot 2^{-1}) = \log_2 (2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \lt 0$$ Para $x=7$: $$f(7) = \log_2 \left[ \sin \frac{\pi (7+1)}{4} + 2^{\frac{7-5}{2}} \right] = \log_2 \left[ \sin (2\pi) + 2^1 \right]$$ Como $\sin(2\pi) = 0$: $$f(7) = \log_2 [ 0 + 2 ] = \log_2 (2) = 1 \gt 0$$ $$\boxed{f(6) = -0,5 \quad \text{y} \quad f(7) = 1}$$

Resumimos las condiciones aplicadas: 1. $f(x)$ es **continua** en $[6, 7]$ (demostrado en el apartado a). 2. $f(6) = -0,5 \lt 0$ y $f(7) = 1 \gt 0$, por lo que existe un **cambio de signo** en los extremos del intervalo. Por el Teorema de Bolzano, existe al menos un valor $\alpha \in (6, 7)$ tal que $f(\alpha) = 0$. $$\boxed{\exists \alpha \in (6, 7) : f(\alpha) = 0}$$