Cálculo de límites de funciones

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}}$** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $+\infty$ para identificar la forma indeterminada: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}} = \frac{\infty}{\infty - \infty}$$ Como tenemos una resta de raíces en el denominador que genera una indeterminación del tipo $\infty - \infty$, la estrategia más adecuada es multiplicar y dividir por el **conjugado** del denominador. 💡 **Tip:** El conjugado de $(\sqrt{A} - \sqrt{B})$ es $(\sqrt{A} + \sqrt{B})$. Al multiplicarlos, obtenemos una diferencia de cuadrados: $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$.

Multiplicamos el numerador y el denominador por $\sqrt{3x^3 + 2x^2} + \sqrt{3x^3}$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{3x^3 + 2x^2} + \sqrt{3x^3})}{(\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}) \cdot (\sqrt{3x^3 + 2x^2} + \sqrt{3x^3})}$$ Operamos el denominador usando la identidad $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{3x^3 + 2x^2} + \sqrt{3x^3})}{(3x^3 + 2x^2) - 3x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{3x^3 + 2x^2} + \sqrt{3x^3})}{2x^2}$$ Ahora, distribuimos el factor $\sqrt{x}$ en el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{3x^4 + 2x^3} + \sqrt{3x^4}}{2x^2}$$

Para resolver el límite cuando $x \to +\infty$, extraemos el factor de mayor grado de las raíces del numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^4(3 + \frac{2}{x})} + \sqrt{3x^4}}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\sqrt{3 + \frac{2}{x}} + x^2\sqrt{3}}{2x^2}$$ Dividimos todos los términos por $x^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{3 + \frac{2}{x}} + \sqrt{3}}{2}$$ Al aplicar el límite, el término $\frac{2}{x}$ tiende a $0$: $$\frac{\sqrt{3 + 0} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}} = \sqrt{3}}$$

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x}$** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x} = \infty \cdot \sin(0) = \infty \cdot 0$$ Estamos ante una indeterminación del tipo $\infty \cdot 0$. Para poder aplicar la **Regla de L'Hôpital**, debemos transformar esta expresión en un cociente del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Reescribimos la función bajando la $x$ al denominador como $\frac{1}{x}$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$ Ahora el límite es de la forma $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar L'Hôpital. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital nos dice que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador de la expresión $\frac{\sin(1/x)}{1/x}$: - Derivada del numerador: $[\sin(1/x)]' = \cos(1/x) \cdot (\frac{-1}{x^2})$ - Derivada del denominador: $[1/x]' = \frac{-1}{x^2}$ Aplicamos L'Hôpital: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}$$ Simplificamos los términos $(-\frac{1}{x^2})$ que aparecen en numerador y denominador: $$\lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right)$$ Finalmente, calculamos el límite cuando $x \to \infty$: $$\cos\left(\frac{1}{\infty}\right) = \cos(0) = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x} = 1}$$