Esfera, plano tangente y perpendicularidad

Para resolver el problema, primero extraemos la información de los elementos dados: - **Esfera ($S$):** El centro es $C(0, 0, 0)$ y el radio es $R = 3$. Su ecuación es: $$x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = 9$$ - **Recta ($r$):** De la ecuación continua $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 4}{-2}$, obtenemos su vector director: $$\vec{v}_r = (2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$.

Buscamos un plano $\pi$ que cumpla dos condiciones: 1. Es perpendicular a la recta $r$. 2. Es tangente a la esfera. Si el plano es perpendicular a $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser paralelo al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Tomamos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 1, -2)$$ La ecuación general del plano será de la forma: $$\pi \equiv 2x + y - 2z + D = 0$$ Para que sea tangente a la esfera, la distancia desde el centro $C(0,0,0)$ al plano debe ser igual al radio $R=3$: $$d(C, \pi) = \frac{|2(0) + 1(0) - 2(0) + D|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = 3$$ $$\frac{|D|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 3 \implies \frac{|D|}{3} = 3 \implies |D| = 9$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: $D = 9$ o $D = -9$. Elegimos uno de los dos planos (el enunciado pide "un plano"): $$\boxed{\pi \equiv 2x + y - 2z - 9 = 0}$$

El punto de tangencia $T$ es la intersección de la esfera con el plano, que coincide con la proyección ortogonal del centro $C$ sobre el plano $\pi$. Para hallarlo, construimos una recta auxiliar $s$ que pase por $C(0,0,0)$ y sea perpendicular al plano (usamos $\vec{n}_\pi$ como vector director): $$s \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos las coordenadas de $s$ en la ecuación del plano $\pi$: $$2(2\lambda) + (\lambda) - 2(-2\lambda) - 9 = 0$$ $$4\lambda + \lambda + 4\lambda - 9 = 0 \implies 9\lambda = 9 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en $s$, obtenemos el punto de tangencia: $$\boxed{T(2, 1, -2)}$$

Queremos encontrar la recta $t$ que pasa por $T(2, 1, -2)$ y corta perpendicularmente a $r$. Primero, buscamos el punto $Q$ de la recta $r$ tal que el vector $\vec{TQ}$ sea perpendicular al vector director de $r$, $\vec{v}_r$. Expresamos un punto genérico $Q$ de la recta $r$ en paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 4 + \mu \\ z = -4 - 2\mu \end{cases} \implies Q(3+2\mu, 4+\mu, -4-2\mu)$$ El vector $\vec{TQ}$ es: $$\vec{TQ} = (3 + 2\mu - 2, 4 + \mu - 1, -4 - 2\mu - (-2)) = (1 + 2\mu, 3 + \mu, -2 - 2\mu)$$ Imponemos la condición de perpendicularidad $\vec{TQ} \cdot \vec{v}_r = 0$: $$(1 + 2\mu, 3 + \mu, -2 - 2\mu) \cdot (2, 1, -2) = 0$$ $$2(1 + 2\mu) + 1(3 + \mu) - 2(-2 - 2\mu) = 0$$ $$2 + 4\mu + 3 + \mu + 4 + 4\mu = 0 \implies 9\mu + 9 = 0 \implies \mu = -1$$ Sustituyendo $\mu = -1$, el punto de corte en $r$ es $Q(1, 3, -2)$.

Ahora que tenemos los puntos $T(2, 1, -2)$ y $Q(1, 3, -2)$, el vector director de la recta $t$ será: $$\vec{v}_t = \vec{TQ} = (1 - 2, 3 - 1, -2 - (-2)) = (-1, 2, 0)$$ La ecuación continua de la recta $t$ que pasa por $T(2, 1, -2)$ con vector director $(-1, 2, 0)$ es: $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{2}; \quad z = -2$$ 💡 **Tip:** Cuando una de las componentes del vector director es cero, no se puede escribir como denominador en la igualdad de fracciones. Se indica la igualdad de las otras dos y se añade el valor constante de la coordenada nula por separado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{2}, \quad z = -2}$$