Ecuación de la perpendicular común a dos rectas

Para trabajar con la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos, vamos a expresarla en forma paramétrica. Para ello, resolvemos el sistema en función de un parámetro. $r \equiv \begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$ Si hacemos $y = -\lambda$, de la segunda ecuación obtenemos $x = \lambda$. Sustituyendo en la primera: $2(-\lambda) + z = 0 \implies z = 2\lambda$. Por tanto, la recta $r$ tiene: - Punto: $P_r(0, 0, 0)$ - Vector director: $\vec{d_r} = (1, -1, 2)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícita a paramétrica, basta con asignar una variable como parámetro y despejar las demás. En este caso, $y$ o $x$ son buenas opciones.

La recta $s$ ya viene dada en su forma continua, por lo que podemos extraer sus elementos directamente del denominador y de los numeradores: $s \equiv \dfrac{x - 6}{-1} = \dfrac{y - 6}{5} = \dfrac{z - 2}{2}$ Obtenemos: - Punto: $P_s(6, 6, 2)$ - Vector director: $\vec{d_s} = (-1, 5, 2)$

La recta buscada ($t$) debe ser perpendicular a $r$ y a $s$. Por tanto, su vector director $\vec{d_t}$ debe ser perpendicular a $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$ simultáneamente. Esto se consigue mediante el producto vectorial: $$\vec{d_t} = \vec{d_r} \times \vec{d_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{d_t} = \mathbf{i}(-1 \cdot 2 - 5 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 5 - (-1) \cdot (-1))$$ $$\vec{d_t} = \mathbf{i}(-2 - 10) - \mathbf{j}(2 + 2) + \mathbf{k}(5 - 1)$$ $$\vec{d_t} = -12\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (-12, -4, 4)$$ Podemos simplificar el vector dividiendo entre $-4$ para facilitar los cálculos: $$\boxed{\vec{d_t} = (3, 1, -1)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de la perpendicular común siempre es proporcional al producto vectorial de los vectores directores de las rectas dadas.

Buscamos un punto $R \in r$ y un punto $S \in s$ tales que el vector $\vec{RS}$ sea paralelo al vector director de la perpendicular común $\vec{d_t}$. Expresamos los puntos genéricos: - $R(\lambda, -\lambda, 2\lambda)$ - $S(6 - \mu, 6 + 5\mu, 2 + 2\mu)$ El vector $\vec{RS}$ es: $$\vec{RS} = S - R = (6 - \mu - \lambda, \; 6 + 5\mu + \lambda, \; 2 + 2\mu - 2\lambda)$$ Como $\vec{RS}$ debe ser perpendicular a $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$, planteamos el sistema de ecuaciones: 1. $\vec{RS} \cdot \vec{d_r} = 0 \implies (6-\mu-\lambda)(1) + (6+5\mu+\lambda)(-1) + (2+2\mu-2\lambda)(2) = 0$ $6-\mu-\lambda - 6-5\mu-\lambda + 4+4\mu-4\lambda = 0 \implies -6\lambda - 2\mu + 4 = 0 \implies 3\lambda + \mu = 2$ 2. $\vec{RS} \cdot \vec{d_s} = 0 \implies (6-\mu-\lambda)(-1) + (6+5\mu+\lambda)(5) + (2+2\mu-2\lambda)(2) = 0$ $-6+\mu+\lambda + 30+25\mu+5\lambda + 4+4\mu-4\lambda = 0 \implies 2\lambda + 30\mu + 28 = 0 \implies \lambda + 15\mu = -14$ Resolvemos el sistema: De (1): $\mu = 2 - 3\lambda$ Sustituyendo en (2): $\lambda + 15(2 - 3\lambda) = -14 \implies \lambda + 30 - 45\lambda = -14$ $-44\lambda = -44 \implies \mathbf{\lambda = 1}$ Luego: $\mu = 2 - 3(1) = \mathbf{-1}$

Sustituimos los valores obtenidos para hallar el punto $R$ (que pertenece a la recta $t$): $$R(1, -1, 2 \cdot 1) = R(1, -1, 2)$$ Como comprobación, hallamos $S$: $$S(6 - (-1), 6 + 5(-1), 2 + 2(-1)) = S(7, 1, 0)$$ El vector $\vec{RS} = (7-1, 1-(-1), 0-2) = (6, 2, -2)$, que es efectivamente proporcional a $\vec{d_t} = (3, 1, -1)$. La recta $t$ pasa por $R(1, -1, 2)$ con dirección $(3, 1, -1)$. Su ecuación continua es: $$\boxed{\frac{x - 1}{3} = rac{y + 1}{1} = rac{z - 2}{-1}}$$