Determinantes y condición de invertibilidad

Para resolver el ejercicio, primero simplificamos la expresión $|A \cdot B^{-1}| = 1$ utilizando las propiedades de los determinantes. Sabemos que: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|A \cdot C| = |A| \cdot |C|$. 2. El determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz original: $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ (siempre que $|B| \neq 0$). Aplicando estas propiedades: $$|A \cdot B^{-1}| = |A| \cdot |B^{-1}| = |A| \cdot \frac{1}{|B|} = \frac{|A|}{|B|}$$ La condición del enunciado $|A \cdot B^{-1}| = 1$ equivale a: $$\frac{|A|}{|B|} = 1 \implies |A| = |B|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $B^{-1}$ exista, es imprescindible que $|B| \neq 0$. Al finalizar los cálculos, debemos comprobar que los valores de $t$ obtenidos no anulan el determinante de $B$.

Calculamos $|A|$ utilizando el desarrollo por la tercera fila, ya que contiene un cero, lo que facilita los cálculos: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & t & -t \\ 2t-1 & t-1 & t \\ t-2 & 0 & t-2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (t-2) \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} t & -t \\ t-1 & t \end{vmatrix} + 0 + (t-2) \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & t \\ 2t-1 & t-1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (t-2) [ (t^2 - (-t)(t-1)) ] + (t-2) [ (t-1 - t(2t-1)) ]$$ $$|A| = (t-2) [ (t^2 + t^2 - t) + (t - 1 - 2t^2 + t) ]$$ $$|A| = (t-2) [ (2t^2 - t) + (-2t^2 + 2t - 1) ]$$ $$|A| = (t-2) (t - 1) = t^2 - 3t + 2$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{|A| = t^2 - 3t + 2}$$

Calculamos $|B|$ utilizando la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera fila: $$|B| = \begin{vmatrix} t-1 & t & -t \\ 1-2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|B| = 0 - (-1) \begin{vmatrix} t-1 & -t \\ 1-2t & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} t-1 & t \\ 1-2t & 2t \end{vmatrix}$$ $$|B| = 1 \cdot [ (t-1)(-1) - (-t)(1-2t) ] + 1 \cdot [ (t-1)(2t) - t(1-2t) ]$$ $$|B| = [ -t + 1 + t - 2t^2 ] + [ 2t^2 - 2t - t + 2t^2 ]$$ $$|B| = (1 - 2t^2) + (4t^2 - 3t) = 2t^2 - 3t + 1$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{|B| = 2t^2 - 3t + 1}$$

Igualamos ambos determinantes según la condición $|A| = |B|$: $$t^2 - 3t + 2 = 2t^2 - 3t + 1$$ Sumamos $3t$ en ambos lados y agrupamos términos: $$t^2 + 2 = 2t^2 + 1$$ $$2 - 1 = 2t^2 - t^2 \implies 1 = t^2 \implies t = \pm 1$$ Ahora debemos comprobar la **condición de existencia de $B^{-1}$** ($|B| \neq 0$): - Si $t = 1$: $|B| = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. En este caso **no existe $B^{-1}$**, por lo que $t=1$ no es una solución válida. - Si $t = -1$: $|B| = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \neq 0$. Como el determinante no es cero, la matriz es invertible y la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = -1}$$