Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible.** Para estudiar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Este resultado permite determinar la naturaleza de un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$). Sean las matrices: $$A = \begin{pmatrix} a & a-2 & 0 \\ a & a^2-2a & 2 \\ 3a & a^2-4 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} a & a-2 & 0 & a-2 \\ a & a^2-2a & 2 & a \\ 3a & a^2-4 & 1 & 4a-4 \end{pmatrix}$$ El sistema tiene $n=3$ incógnitas ($x, y, z$). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece: - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a-2 & 0 \\ a & a^2-2a & 2 \\ 3a & a^2-4 & 1 \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar sacando factor común $a$ de la primera columna: $$|A| = a \begin{vmatrix} 1 & a-2 & 0 \\ 1 & a^2-2a & 2 \\ 3 & a^2-4 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = a \left[ (a^2-2a) + 6(a-2) + 0 - (0 + 2(a^2-4) + (a-2)) \right]$$ $$|A| = a \left[ a^2 - 2a + 6a - 12 - (2a^2 - 8 + a - 2) \right]$$ $$|A| = a \left[ a^2 + 4a - 12 - 2a^2 - a + 10 \right]$$ $$|A| = a (-a^2 + 3a - 2)$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$-a(a^2 - 3a + 2) = 0 \implies a=0, \; a=1, \; a=2.$$ $$\boxed{|A| = -a(a-1)(a-2)}$$

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 0, a \neq 1, a \neq 2$** $|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$. Como el rango máximo es 3, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** $$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$ $\text{rg}(A) = 2$ pues el menor $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$. En $A^*$, la cuarta columna es idéntica a la segunda, por lo que no aporta rango. $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = 1$** $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $\text{rg}(A) = 2$ (las dos primeras columnas son proporcionales). Calculamos un menor de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 1 - (6 - 1 + 0) = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = 2$** $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 6 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 6 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$ $\text{rg}(A) = 2$ (la segunda columna es nula). Calculamos un menor de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 6 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(8-2) = 12 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ El sistema es **Incompatible (SI)**.

Para $a \notin \{0, 1, 2\}$, usamos la regla de **Cramer**. Sabemos que $|A| = -a(a-1)(a-2)$. Cálculo de $x$: $$|A_x| = \begin{vmatrix} a-2 & a-2 & 0 \\ a & a^2-2a & 2 \\ 4a-4 & a^2-4 & 1 \end{vmatrix} = (a-2)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & a^2-3a & 2 \\ 4a-4 & a^2-4a & 1 \end{vmatrix} = (a-2)(-a^2+5a) = -a(a-2)(a-5)$$ $$x = \frac{-a(a-2)(a-5)}{-a(a-1)(a-2)} = \frac{a-5}{a-1}$$ Cálculo de $y$: $$|A_y| = \begin{vmatrix} a & a-2 & 0 \\ a & a & 2 \\ 3a & 4a-4 & 1 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1 & a-2 & 0 \\ 1 & a & 2 \\ 3 & 4a-4 & 1 \end{vmatrix} = a(-2a-2) = -2a(a+1)$$ $$y = \frac{-2a(a+1)}{-a(a-1)(a-2)} = \frac{2(a+1)}{(a-1)(a-2)}$$ Cálculo de $z$: $$|A_z| = \begin{vmatrix} a & a-2 & a-2 \\ a & a^2-2a & a \\ 3a & a^2-4 & 4a-4 \end{vmatrix} = a^2(a-1)(a-2)$$ $$z = \frac{a^2(a-1)(a-2)}{-a(a-1)(a-2)} = -a$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{a-5}{a-1}, \; y = \frac{2a+2}{(a-1)(a-2)}, \; z = -a}$$

Para $a = 0$, el sistema original se convierte en: $$\begin{cases} -2y = -2 \\ 2z = 0 \\ -4y + z = -4 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $$-2y = -2 \implies y = 1$$ De la segunda ecuación: $$2z = 0 \implies z = 0$$ Comprobamos en la tercera: $$-4(1) + 0 = -4 \implies -4 = -4 \quad \text{(Se cumple)}$$ La variable $x$ no aparece en ninguna ecuación (los coeficientes de $x$ eran $ax$, y $a=0$). Por lo tanto, $x$ puede tomar cualquier valor real $\lambda$. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1, 0), \; \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$