Probabilidad y Estadística 2021 Madrid
Probabilidad de niveles de contaminación por NO2 y partículas
B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Una estación de medición de calidad del aire mide niveles de $NO_2$ y de partículas en suspensión. La probabilidad de que en un día se mide un nivel de $NO_2$ superior al permitido es 0.16. En los días en los que se supera el nivel permitido de $NO_2$, la probabilidad de que se supere el nivel permitido de partículas es 0.33. En los días en los que no se supera el nivel permitido de $NO_2$, la probabilidad de que se supere el nivel permitido de partículas es 0.08.
a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se superen los dos niveles permitidos?
b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere al menos uno de los dos?
c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “en un día se supera el nivel permitido de $NO_2$” y “en un día se supera el nivel permitido de partículas”?
d) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se supere el nivel permitido de $NO_2$, sabiendo que no se ha superado el nivel permitido de partículas?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en un árbol de probabilidad.
Sean los sucesos:
- $N$: "Se supera el nivel permitido de $NO_2$".
- $P$: "Se supera el nivel permitido de partículas".
Del enunciado extraemos los siguientes datos:
- $P(N) = 0.16$ (por tanto, $P(\overline{N}) = 1 - 0.16 = 0.84$).
- $P(P|N) = 0.33$ (la probabilidad de superar partículas dado que se superó $NO_2$).
- $P(P|\overline{N}) = 0.08$ (la probabilidad de superar partículas dado que NO se superó $NO_2$).
Representamos esta información en un diagrama de árbol:
Paso 2
Probabilidad de superar ambos niveles
**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se superen los dos niveles permitidos?**
Nos piden la probabilidad de la intersección $P(N \cap P)$.
Utilizamos la definición de probabilidad condicionada:
$$P(N \cap P) = P(N) \cdot P(P|N)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(N \cap P) = 0.16 \cdot 0.33 = 0.0528$$
💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es el producto de la probabilidad del primero por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N \cap P) = 0.0528}$$
Paso 3
Probabilidad de superar al menos uno de los dos
**b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere al menos uno de los dos?**
Superar "al menos uno" equivale a la unión de los sucesos, $P(N \cup P)$.
La fórmula general es:
$$P(N \cup P) = P(N) + P(P) - P(N \cap P)$$
Ya conocemos $P(N)$ y $P(N \cap P)$, pero necesitamos calcular $P(P)$ usando el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(P) = P(N \cap P) + P(\overline{N} \cap P)$$
$$P(P) = P(N) \cdot P(P|N) + P(\overline{N}) \cdot P(P|\overline{N})$$
$$P(P) = (0.16 \cdot 0.33) + (0.84 \cdot 0.08) = 0.0528 + 0.0672 = 0.12$$
Ahora calculamos la unión:
$$P(N \cup P) = 0.16 + 0.12 - 0.0528 = 0.2272$$
💡 **Tip:** Recuerda que "al menos uno" también se puede calcular como el complementario de "ninguno": $1 - P(\overline{N} \cap \overline{P})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N \cup P) = 0.2272}$$
Paso 4
Estudio de la independencia de los sucesos
**c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “en un día se supera el nivel permitido de $NO_2$” y “en un día se supera el nivel permitido de partículas”?**
Dos sucesos $N$ y $P$ son independientes si se cumple que:
$$P(N \cap P) = P(N) \cdot P(P)$$
Comprobamos con los valores obtenidos anteriormente:
- $P(N \cap P) = 0.0528$
- $P(N) \cdot P(P) = 0.16 \cdot 0.12 = 0.0192$
Como $0.0528 \neq 0.0192$, los sucesos **no son independientes**.
Alternativamente, también se puede comprobar viendo si $P(P|N) = P(P)$. Como $0.33 \neq 0.12$, confirmamos que el hecho de que se supere el nivel de $NO_2$ influye en la probabilidad de que se superen las partículas.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes}}$$
Paso 5
Probabilidad condicionada de NO2 sabiendo que no se superan partículas
**d) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se supere el nivel permitido de $NO_2$, sabiendo que no se ha superado el nivel permitido de partículas?**
Nos piden la probabilidad condicionada $P(N|\overline{P})$.
Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes):
$$P(N|\overline{P}) = \frac{P(N \cap \overline{P})}{P(\overline{P})}$$
Calculamos los términos:
- $P(\overline{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0.12 = 0.88$
- $P(N \cap \overline{P}) = P(N) \cdot P(\overline{P}|N) = 0.16 \cdot (1 - 0.33) = 0.16 \cdot 0.67 = 0.1072$
Calculamos el cociente:
$$P(N|\overline{P}) = \frac{0.1072}{0.88} \approx 0.121818...$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(N|\overline{P}) \approx 0.1218$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N|\overline{P}) \approx 0.1218}$$