Planos paralelos, distancias y rectas perpendiculares

**a) (1.5 puntos) Halle los planos paralelos al plano $\pi_1$ tales que su distancia al origen de coordenadas sea 2.** Dos planos son paralelos si comparten el mismo vector normal (o uno proporcional). El plano $\pi_1$ tiene por ecuación general $x + y - 1 = 0$, por lo que su vector normal es $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$. Cualquier plano $\pi'$ paralelo a $\pi_1$ tendrá una ecuación de la forma: $$x + y + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano tiene ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, todos sus paralelos mantienen los coeficientes $A$, $B$ y $C$ variando únicamente el término independiente $D$.

La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por: $$d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En este caso, queremos que la distancia del origen $O(0, 0, 0)$ al plano $\pi' \equiv x + y + D = 0$ sea igual a 2: $$d(O, \pi') = \frac{|1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = 2$$ Operamos en la expresión: $$\frac{|D|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |D| = 2\sqrt{2}$$

La ecuación $|D| = 2\sqrt{2}$ tiene dos posibles soluciones para $D$: 1. $D_1 = 2\sqrt{2}$ 2. $D_2 = -2\sqrt{2}$ Sustituyendo estos valores en la ecuación general del plano paralelo, obtenemos los dos planos buscados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi'_1 \equiv x + y + 2\sqrt{2} = 0, \quad \pi'_2 \equiv x + y - 2\sqrt{2} = 0}$$

**b) (0.5 puntos) Halle la recta que pasa por el punto $(0, 2, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi_2$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi_2$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser igual (o paralelo) al vector normal del plano $\vec{n}_2$. El plano es $\pi_2 \equiv x + z = 1$, que podemos escribir como $x + 0y + z - 1 = 0$. Su vector normal es: $$\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta $\vec{v}_r = (1, 0, 1)$. Como la recta debe pasar por el punto $P(0, 2, 0)$, su ecuación paramétrica es: $$\begin{cases} x = 0 + 1 \cdot t \\ y = 2 + 0 \cdot t \\ z = 0 + 1 \cdot t \end{cases} \implies \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para determinar una recta necesitamos un punto y un vector. Si es perpendicular a un plano, el vector normal del plano "nos sirve" como dirección de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = t \end{cases} \text{ con } t \in \mathbb{R}}$$

**c) (0.5 puntos) Halle la distancia entre los puntos de intersección del plano $\pi_1$ con los ejes $x$ e $y$.** Primero calculamos los puntos de intersección de $\pi_1 \equiv x + y = 1$ con los ejes: - **Intersección con el eje $x$:** Hacemos $y = 0$ y $z = 0$ en la ecuación del plano. $$x + 0 = 1 \implies x = 1 \implies A(1, 0, 0)$$ - **Intersección con el eje $y$:** Hacemos $x = 0$ y $z = 0$ en la ecuación del plano. $$0 + y = 1 \implies y = 1 \implies B(0, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos sobre el eje $x$ tienen siempre $y=0, z=0$, y los del eje $y$ tienen $x=0, z=0$.

Calculamos la distancia entre $A(1, 0, 0)$ y $B(0, 1, 0)$ usando la fórmula de la distancia entre dos puntos (módulo del vector $\vec{AB}$): $$\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$$ $$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$