Estudio de continuidad, derivabilidad, monotonía e integración

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$ en $x = 0$.** Para que la función sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función:** $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \text{sen } x = \text{sen}(0) = 0$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x e^x = 0 \cdot e^0 = 0$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, no hay salto entre las ramas y la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. Si una función no es continua en un punto, automáticamente no es derivable en él.

Calculamos primero la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} \cos x & \text{si } x < 0 \\ (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) & \text{si } x > 0 \end{cases} \implies f'(x) = \begin{cases} \cos x & \text{si } x < 0 \\ (x + 1)e^x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Ahora estudiamos las derivadas laterales en $x = 0$: 1. **Derivada lateral izquierda:** $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos(0) = 1$. 2. **Derivada lateral derecha:** $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1)e^x = (0 + 1)e^0 = 1$. Como $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$, la función es **derivable en $x = 0$** y su derivada es $f'(0) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es continua y derivable en } x = 0}$$

**b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ restringida a $(-\pi, 2)$. Demuestre que existe un punto $x_0 \in [0, 1]$ de manera que $f(x_0) = 2$.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ en el intervalo $(-\pi, 2)$: - En $(-\pi, 0)$: $f'(x) = \cos x = 0 \implies x = -\frac{\pi}{2}$. - En $(0, 2)$: $f'(x) = (x + 1)e^x = 0 \implies x = -1$ (no pertenece a este intervalo). - En $x = 0$: $f'(0) = 1 \neq 0$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\pi, -\pi/2) & -\pi/2 & (-\pi/2, 0) & 0 & (0, 2) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & + & + \\ \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nearrow & \nearrow \end{array}$$ Interpretación: - En $(-\pi, -\pi/2)$, $\cos x < 0$, luego $f$ es **decreciente**. - En $(-\pi/2, 2)$, $f'(x) > 0$ (ya que $\cos x > 0$ en $(-\pi/2, 0)$ y $(x+1)e^x > 0$ en $[0, 2)$), luego $f$ es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\pi, -\pi/2) \text{ y Creciente en } (-\pi/2, 2)}$$

Para demostrar que existe $x_0 \in [0, 1]$ tal que $f(x_0) = 2$, aplicamos el **Teorema de los Valores Intermedios** (o de Darboux): 1. **Continuidad:** $f(x)$ es continua en el intervalo $[0, 1]$ (ya vimos que lo es en $x=0$ y sus ramas son continuas). 2. **Valores en los extremos:** - $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. - $f(1) = 1 \cdot e^1 = e \approx 2.718$. Como $f(0) = 0 \lt 2$ y $f(1) = e \approx 2.718 \gt 2$, es decir, el valor $2$ está comprendido entre $f(0)$ y $f(1)$, por el Teorema de los Valores Intermedios existe al menos un $x_0 \in (0, 1)$ tal que: $$\boxed{f(x_0) = 2}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano es un caso particular de este teorema cuando buscamos que la función valga 0 (corte con el eje X).

**c) (0.75 puntos) Calcule $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x)dx$.** Dado que la función está definida a trozos y el intervalo de integración $[-\pi/2, 1]$ cruza el punto de cambio de rama $x = 0$, debemos dividir la integral en dos partes: $$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x)dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \text{sen } x \, dx + \int_{0}^{1} x e^x \, dx$$ Calculamos la primera integral: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \text{sen } x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (-\cos 0) - (-\cos(-\pi/2)) = -1 - (0) = -1.$$ 💡 **Tip:** En integrales definidas, siempre aplica la regla de Barrow: $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.

Calculamos la segunda integral, $\int_{0}^{1} x e^x \, dx$, usando el método de **integración por partes**: Sean $u = x \implies du = dx$ y $dv = e^x dx \implies v = e^x$. $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = (x - 1)e^x$$ Aplicamos Barrow: $$\int_{0}^{1} x e^x \, dx = \left[ (x - 1)e^x \right]_{0}^{1} = ((1 - 1)e^1) - ((0 - 1)e^0) = 0 - (-1) = 1.$$ Sumamos ambos resultados para obtener el valor total: $$I = -1 + 1 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x)dx = 0}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \{x < 0: \\sin x, x \\ge 0: x e^x\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "\\min(0, \\sin x) \\le y \\le \\max(0, \\sin x) \\{- \\pi/2 \\le x \\le 0\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "0 \\le y \\le x e^x \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -2, "top": 3 } } }