Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (2 puntos) Discuta el sistema según los diferentes valores de $a$.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & -2 & a-1 \\ -2 & 3 & -6 \\ -a & 1 & -6 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -2 & a-1 & 4 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -a & 1 & -6 & 6 \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n = 3$. 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius nos dice que: - Si $rang(A) = rang(A^*) = 3$, el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). - Si $rang(A) = rang(A^*) < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). - Si $rang(A) \neq rang(A^*)$, el sistema es **Incompatible** (sin solución).

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -2 & a-1 \\ -2 & 3 & -6 \\ -a & 1 & -6 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot 3 \cdot (-6) + (-2) \cdot (-6) \cdot (-a) + 1 \cdot (-2) \cdot (a-1)] - [(-a) \cdot 3 \cdot (a-1) + 1 \cdot (-6) \cdot a + (-6) \cdot (-2) \cdot (-2)]$$ $$|A| = [-18a - 12a - 2a + 2] - [-3a^2 + 3a - 6a - 24]$$ $$|A| = -32a + 2 - (-3a^2 - 3a - 24) = 3a^2 - 29a + 26$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3a^2 - 29a + 26 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{29 \pm \sqrt{29^2 - 4 \cdot 3 \cdot 26}}{2 \cdot 3} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 312}}{6} = \frac{29 \pm \sqrt{529}}{6} = \frac{29 \pm 23}{6}$$ Las raíces son: $$a_1 = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}, \quad a_2 = \frac{6}{6} = 1$$ 💡 **Tip:** Cuando el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es máximo (3 en este caso).

Si $a \neq 1$ y $a \neq \frac{26}{3}$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $rang(A) = 3$ - $rang(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $rang(A)$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Como $rang(A) = rang(A^*) = n$, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 26/3\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -1 & 1 & -6 & 6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rang(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \neq 0 \implies rang(A) = 2$$ Ahora calculamos un menor de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = (18 + 4 - 8) - (-12 + 2 + 24) = 14 - 14 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $rang(A^*) = 2$. Como $rang(A) = rang(A^*) = 2 \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).}}$$

Sustituimos $a = \frac{26}{3}$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 26/3 & -2 & 23/3 & 4 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -26/3 & 1 & -6 & 6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rang(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -6 \end{vmatrix} = 12 - 3 = 9 \neq 0 \implies rang(A) = 2$$ Evaluamos el determinante de un menor de orden 3 de $A^*$ con la columna de términos independientes (columnas 2, 3 y 4): $$\begin{vmatrix} -2 & 23/3 & 4 \\ 3 & -6 & 2 \\ 1 & -6 & 6 \end{vmatrix} = [(-2)(-6)(6) + (23/3)(2)(1) + (4)(3)(-6)] - [(1)(-6)(4) + (-6)(2)(-2) + (6)(3)(23/3)]$$ $$= [72 + 46/3 - 72] - [-24 + 24 + 138] = \frac{46}{3} - 138 = -\frac{368}{3} \neq 0$$ Por lo tanto, $rang(A^*) = 3$. Como $rang(A) = 2 \neq rang(A^*) = 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 26/3, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$

**b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para $a = 1$.** Como vimos en el apartado anterior, para $a = 1$ el sistema es **Compatible Indeterminado** con $rang(A) = 2$. El sistema queda: $$\begin{cases} x - 2y = 4 \\ -2x + 3y - 6z = 2 \\ -x + y - 6z = 6 \end{cases}$$ Dado que el rango es 2, una de las ecuaciones es redundante. Podemos usar las dos primeras y pasar una incógnita al otro lado como parámetro. Sea **$z = \lambda$**. $$\begin{cases} x - 2y = 4 \\ -2x + 3y = 2 + 6\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un sistema SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones dependen de un solo parámetro ($3 - 2 = 1$).

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones por reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos: $$2x - 4y = 8$$ $$-2x + 3y = 2 + 6\lambda$$ $$\overline{\quad -y = 10 + 6\lambda \implies y = -10 - 6\lambda}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x = 4 + 2y = 4 + 2(-10 - 6\lambda)$$ $$x = 4 - 20 - 12\lambda = -16 - 12\lambda$$ Comprobamos en la tercera ecuación original $(-x + y - 6z = 6)$: $$-(-16 - 12\lambda) + (-10 - 6\lambda) - 6\lambda = 16 + 12\lambda - 10 - 6\lambda - 6\lambda = 6$$ Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -16 - 12\lambda \\ y = -10 - 6\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$