Geometría métrica: ángulos, simetría y proyección en el espacio

**a) (0.75 puntos) Calcular el ángulo que forman $r$ y $\pi$.** Para calcular el ángulo entre una recta y un plano, necesitamos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (-1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 3, -1)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \mathbf{j}((-1)(-1) - (1)(2)) + \mathbf{k}((-1)(3) - (-1)(2))$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1 - 3) - \mathbf{j}(1 - 2) + \mathbf{k}(-3 + 2) = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (-2, 1, -1)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a ambos vectores normales.

El plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$ tiene como vector normal $\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$. El ángulo $\alpha$ entre la recta y el plano se calcula mediante la fórmula: $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |(-2)(2) + (1)(1) + (-1)(-1)| = |-4 + 1 + 1| = |-2| = 2$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ - $|\vec{n}_\pi| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ Sustituimos: $$\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ}$$

**b) (1 punto) Hallar el simétrico del punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ con respecto al plano $z - y = 0$.** Primero hallamos el punto $P$ de intersección resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de $r$ y el plano $\pi$: $$\begin{cases} -x - y + z = 0 \quad (1) \\ 2x + 3y - z + 1 = 0 \quad (2) \\ 2x + y - z + 3 = 0 \quad (3) \end{cases}$$ Restamos (2) y (3) para eliminar $x$ y $z$: $$(2x + 3y - z + 1) - (2x + y - z + 3) = 0 \implies 2y - 2 = 0 \implies y = 1$$ Sustituimos $y=1$ en (1) y (2): $$\begin{cases} -x - 1 + z = 0 \implies z = x + 1 \\ 2x + 3 - z + 1 = 0 \implies 2x - z + 4 = 0 \end{cases}$$ Sustituimos $z$ en la segunda ecuación: $$2x - (x + 1) + 4 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$$ Calculamos $z$: $$z = -3 + 1 = -2$$ El punto de intersección es **$P(-3, 1, -2)$**. 💡 **Tip:** Resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas nos da las coordenadas del único punto común si la recta no es paralela al plano.

Para hallar el simétrico de $P(-3, 1, -2)$ respecto al plano $\pi' \equiv -y + z = 0$, seguimos estos pasos: 1. Hallamos la recta $s$ perpendicular a $\pi'$ que pasa por $P$. El vector normal de $\pi'$ es $\vec{n}' = (0, -1, 1)$. $$s \equiv \begin{cases} x = -3 \\ y = 1 - \lambda \\ z = -2 + \lambda \end{cases}$$ 2. Calculamos el punto de corte $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi'$: $$z - y = 0 \implies (-2 + \lambda) - (1 - \lambda) = 0$$ $$-2 + \lambda - 1 + \lambda = 0 \implies 2\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{2}$$ Sustituyendo $\lambda$ en la recta $s$, obtenemos $M$: $$x_M = -3, \quad y_M = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}, \quad z_M = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$ $$M\left(-3, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$ 3. Como $M$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'(x', y', z')$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ $$x' = 2(-3) - (-3) = -3$$ $$y' = 2(-1/2) - 1 = -2$$ $$z' = 2(-1/2) - (-2) = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-3, -2, 1)}$$

**c) (0.75 puntos) Determinar la proyección ortogonal de la recta $r$ sobre el plano $\pi$.** La proyección ortogonal de una recta $r$ sobre un plano $\pi$ es la intersección de dicho plano con otro plano auxiliar $\pi_{aux}$ que contenga a la recta $r$ y sea perpendicular a $\pi$. Para definir $\pi_{aux}$ necesitamos: - Un punto de la recta $r$: Usaremos el punto de intersección hallado antes, $P(-3, 1, -2)$. - Dos vectores directores: El vector director de la recta $\vec{v}_r = (-2, 1, -1)$ y el vector normal del plano $\pi$, $\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$. El vector normal de $\pi_{aux}$ será $\vec{n}_{aux} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi$: $$\vec{n}_{aux} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_{aux} = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(2 + 2) + \mathbf{k}(-2 - 2) = (0, -4, -4)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_{aux} = (0, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro y contiene una recta, su vector normal debe ser perpendicular al vector director de la recta y al normal del otro plano.

Hallamos la ecuación de $\pi_{aux}$ usando el punto $P(-3, 1, -2)$: $$0(x + 3) + 1(y - 1) + 1(z + 2) = 0 \implies y + z + 1 = 0$$ La proyección ortogonal $r_{proj}$ es la recta intersección de $\pi$ y $\pi_{aux}$: $$r_{proj} \equiv \begin{cases} 2x + y - z + 3 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases}$$ Si queremos expresarla de forma paramétrica, despejamos $y$ y $x$ en función de $z = \lambda$: De la segunda: $y = -1 - \lambda$. Sustituimos en la primera: $2x + (-1 - \lambda) - \lambda + 3 = 0 \implies 2x - 2\lambda + 2 = 0 \implies x = \lambda - 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r_{proj} \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$