Área entre dos parábolas

Para calcular el área delimitada por dos funciones, el primer paso es determinar los puntos donde sus gráficas se cortan. Estos puntos marcarán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$ $$2 + x - x^2 = 2x^2 - 4x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$3x^2 - 5x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}$$ Obtenemos las dos soluciones: - $x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$ - $x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Los límites de integración para la región son **$x = -\frac{1}{3}$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos de corte de dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ se hallan resolviendo la ecuación $f(x)-g(x)=0$.

Debemos determinar cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo $\left(-\frac{1}{3}, 2\right)$ para plantear correctamente la integral del área. Tomamos un punto cualquiera dentro del intervalo, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 2 + 0 - 0^2 = 2$ - $g(0) = 2(0)^2 - 4(0) = 0$ Como $f(0) \gt g(0)$, sabemos que en todo el intervalo la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$. Por tanto, la función a integrar será $f(x) - g(x)$: $$f(x) - g(x) = (2 + x - x^2) - (2x^2 - 4x) = -3x^2 + 5x + 2$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso (la inferior menos la superior).

El área $A$ de la región viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte: $$A = \int_{-1/3}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1/3}^{2} (-3x^2 + 5x + 2) \, dx$$ Calculamos primero la integral indefinida (la primitiva): $$\int (-3x^2 + 5x + 2) \, dx = -3\frac{x^3}{3} + 5\frac{x^2}{2} + 2x = -x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x$$ 💡 **Tip:** Para integrar polinomios, recuerda la regla $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración: $$A = \left[ -x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x \right]_{-1/3}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 2$): $$F(2) = -(2)^3 + \frac{5}{2}(2)^2 + 2(2) = -8 + \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 = -8 + 10 + 4 = 6$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -1/3$): $$F\left(-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{27}\right) + \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{2}{3}$$ $$F\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} + \frac{5}{18} - \frac{2}{3} = \frac{2 + 15 - 36}{54} = -\frac{19}{54}$$ Calculamos la diferencia final: $$A = F(2) - F\left(-\frac{1}{3}\right) = 6 - \left(-\frac{19}{54}\right) = 6 + \frac{19}{54} = \frac{324 + 19}{54} = \frac{343}{54}$$ El área de la región es aproximadamente $6.352$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{343}{54} \text{ u}^2}$$