Problema de sistemas: Reparto de acciones

Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan las incógnitas, que en este caso son las cantidades totales de acciones de cada tipo: - $x$: número total de acciones de la empresa A. - $y$: número total de acciones de la empresa B. - $z$: número total de acciones de la empresa C. A continuación, determinamos el valor unitario (precio en bolsa) de cada tipo de acción basándonos en los datos del enunciado: 1. El valor de la acción **B** es $V_B = 1$ €. 2. El valor de la acción **A** es el triple que el de B: $V_A = 3 \cdot 1 = 3$ €. 3. El valor de la acción **A** es la mitad que el de C: $3 = \frac{1}{2} V_C \implies V_C = 6$ €. 💡 **Tip:** Es fundamental identificar todas las unidades y valores antes de plantear las ecuaciones para evitar confusiones entre "cantidad de acciones" y "valor de las acciones". **Valores unitarios:** $$\boxed{V_A = 3\text{ €}, \quad V_B = 1\text{ €}, \quad V_C = 6\text{ €}}$$

Utilizamos la información del enunciado para establecer tres ecuaciones lineales: 1. **Total de acciones:** La suma de las acciones de los tres tipos es 540. $$x + y + z = 540$$ 2. **Valor total de las acciones:** El valor de todas las acciones de tipo A, B y C suma 1560 €. $$3x + 1y + 6z = 1560$$ 3. **Relación entre cantidades de acciones:** El número de acciones de C es la mitad que el de B. $$z = \frac{1}{2}y \implies y = 2z \implies y - 2z = 0$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 540 \\ 3x + y + 6z = 1560 \\ y - 2z = 0 \end{cases}$$

Resolvemos el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la tercera ecuación nos da una relación directa entre $y$ y $z$. Sustituimos $y = 2z$ en las dos primeras ecuaciones: 1. $x + (2z) + z = 540 \implies x + 3z = 540 \implies \mathbf{x = 540 - 3z}$ 2. $3x + (2z) + 6z = 1560 \implies 3x + 8z = 1560$ Ahora sustituimos la expresión de $x$ de la primera ecuación simplificada en la segunda: $$3(540 - 3z) + 8z = 1560$$ $$1620 - 9z + 8z = 1560$$ $$-z = 1560 - 1620$$ $$-z = -60 \implies \mathbf{z = 60}$$ Calculamos ahora el resto de variables: - Para $y$: $y = 2z = 2(60) = 120 \implies \mathbf{y = 120}$ - Para $x$: $x = 540 - 3(60) = 540 - 180 = 360 \implies \mathbf{x = 360}$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar que los valores obtenidos satisfacen todas las ecuaciones originales para asegurar que el proceso es correcto. **Cantidades totales de acciones:** $$\boxed{x = 360, \quad y = 120, \quad z = 60}$$

El enunciado solicita el número de acciones de cada tipo que le corresponde a **cada uno de los tres hermanos**, sabiendo que el reparto es equitativo. Dividimos las cantidades totales obtenidas entre 3: - Acciones de tipo A por hermano: $\frac{360}{3} = 120$ - Acciones de tipo B por hermano: $\frac{120}{3} = 40$ - Acciones de tipo C por hermano: $\frac{60}{3} = 20$ 💡 **Tip:** Lee siempre con atención la pregunta final del problema. Muchas veces se calculan las incógnitas generales pero se olvida aplicar la condición final (en este caso, dividir entre los tres hermanos). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A cada hermano le corresponden 120 acciones de A, 40 de B y 20 de C}}$$