Aproximación de la Binomial por la Normal

**a) (1 punto) Exprese cómo calcular con exactitud la probabilidad de que en 40 de ellos haya llovido.** En primer lugar, identificamos la variable aleatoria $X$: $X$: "Número de días que llueve de un total de $n = 100$ días elegidos al azar". Cada día es un experimento independiente con dos posibles resultados: llueve (éxito) o no llueve (fracaso). - La probabilidad de éxito es $p = 0.45$. - La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0.55$. Dado que el número de pruebas es fijo y la probabilidad es constante, $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(100, \, 0.45)$$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se usa cuando realizamos $n$ ensayos independientes y contamos el número de éxitos.

Para calcular con exactitud la probabilidad de que llueva en exactamente $k = 40$ días, utilizamos la función de probabilidad de la binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituyendo nuestros valores ($n=100$, $k=40$, $p=0.45$, $q=0.55$): $$P(X = 40) = \binom{100}{40} \cdot 0.45^{40} \cdot 0.55^{60}$$ Donde el número combinatorio se calcula como: $$\binom{100}{40} = \frac{100!}{40! \cdot 60!}$$ ✅ **Resultado (Expresión exacta):** $$\boxed{P(X = 40) = \binom{100}{40} \cdot 0.45^{40} \cdot 0.55^{60}}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule dicha probabilidad aproximándola mediante una normal.** Para aproximar una binomial $B(n, p)$ por una normal $N(\mu, \sigma)$, debemos comprobar si se cumplen las condiciones mínimas (normalmente $np > 5$ y $nq > 5$): 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.45 = 45 > 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.55 = 55 > 5$ Como se cumplen, podemos realizar la aproximación.

Calculamos la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$) de la nueva distribución normal $Y$: - Media: $\mu = n \cdot p = 45$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.45 \cdot 0.55} = \sqrt{24.75} \approx 4.975$ Por tanto, la variable binomial $X \sim B(100, \, 0.45)$ se aproxima por una normal: $$Y \sim N(45, \, 4.975)$$ 💡 **Tip:** La aproximación es más precisa cuanto mayor es $n$ y cuanto más se acerca $p$ a $0.5$.

Al pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($Y$), debemos aplicar la corrección de continuidad. Para calcular un punto exacto $P(X = 40)$, tomamos el intervalo de media unidad alrededor del valor: $$P(X = 40) \approx P(39.5 \le Y \le 40.5)$$ En la siguiente gráfica podemos ver la distribución normal centrada en $\mu=45$ y el área que queremos calcular:

Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$ mediante el cambio $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(39.5 \le Y \le 40.5) = P\left( \frac{39.5 - 45}{4.975} \le Z \le \frac{40.5 - 45}{4.975} \right)$$ $$= P(-1.1055 \le Z \le -0.9045)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla estándar: $$P(-1.11 \le Z \le -0.90)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(-1.11 \le Z \le -0.90) = P(0.90 \le Z \le 1.11)$$ $$= P(Z \le 1.11) - P(Z \le 0.90)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.11) = 0.8665$ - $P(Z \le 0.90) = 0.8159$ Calculamos la diferencia: $$0.8665 - 0.8159 = 0.0506$$ ✅ **Resultado (Probabilidad aproximada):** $$\boxed{P(X = 40) \approx 0.0506}$$