Perpendicular común y distancia entre dos rectas

**a) (1.5 puntos) Escriba una ecuación de la recta perpendicular común a $r$ y a $s$.** Primero, extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 4}{-3}$$ - Punto: $P_r = (2, -1, -4)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (1, 1, -3)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_x, v_y, v_z)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita). Para obtener su vector director $\vec{v_s}$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$\vec{n_1} = (1, 0, 1), \quad \vec{n_2} = (-2, 1, -2)$$ $$\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_s} = \vec{i}(0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-2)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2))$$ $$\vec{v_s} = -1\vec{i} - 0\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, 0, 1)$$ Para obtener un punto $P_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $z = 0$, en las ecuaciones de $s$: $$\begin{cases} x + 0 = 2 \implies x = 2 \\ -2(2) + y - 0 = 1 \implies -4 + y = 1 \implies y = 5 \end{cases}$$ Por tanto, $P_s = (2, 5, 0)$. $$\boxed{P_s = (2, 5, 0), \quad \vec{v_s} = (-1, 0, 1)}$$

La recta perpendicular común $t$ tendrá un vector director $\vec{v_t}$ que debe ser perpendicular a la vez a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{v_t} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1))$$ $$\vec{v_t} = 1\vec{i} - (1 - 3)\vec{j} + 1\vec{k} = (1, 2, 1)$$ $$\boxed{\vec{v_t} = (1, 2, 1)}$$

Podemos expresar la recta $t$ como la intersección de dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$: - $\pi_1$ contiene a $r$ y tiene la dirección $\vec{v_t}$. - $\pi_2$ contiene a $s$ y tiene la dirección $\vec{v_t}$. **Ecuación de $\pi_1$:** $$\begin{vmatrix} x-2 & y+1 & z+4 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-2)(1+6) - (y+1)(1+3) + (z+4)(2-1) = 7(x-2) - 4(y+1) + 1(z+4) = 0$$ $$7x - 14 - 4y - 4 + z + 4 = 0 \implies 7x - 4y + z - 14 = 0$$ **Ecuación de $\pi_2$:** $$\begin{vmatrix} x-2 & y-5 & z \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-2)(0-2) - (y-5)(-1-1) + z(-2-0) = -2(x-2) + 2(y-5) - 2z = 0$$ $$-2x + 4 + 2y - 10 - 2z = 0 \implies -2x + 2y - 2z - 6 = 0 \implies x - y + z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado (Recta perpendicular común):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} 7x - 4y + z - 14 = 0 \\ x - y + z + 3 = 0 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Calcule la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como el cociente entre el volumen del paralelepípedo formado por $\vec{P_rP_s}$, $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$, y el área de la base formada por $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{P_rP_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Calculamos primero el vector $\vec{P_rP_s}$: $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (2-2, 5-(-1), 0-(-4)) = (0, 6, 4)$$ Calculamos el producto mixto (numerador): $$|\det(\vec{P_rP_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s})| = \left| \begin{vmatrix} 0 & 6 & 4 \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = |0 + 18 + 0 - (-4 + 0 + 6)| = |18 - 2| = 16$$ Calculamos el módulo del producto vectorial (denominador) usando $\vec{v_t} = (1, 2, 1)$ hallado antes: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$d(r, s) = \frac{16}{\sqrt{6}} = \frac{16\sqrt{6}}{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el producto mixto es distinto de cero, las rectas se cruzan en el espacio. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{8\sqrt{6}}{3} \approx 6.532 \text{ u}}$$