Estudio de continuidad, derivabilidad, extremos y área de una función con valor absoluto

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$ en $x = 0$.** Primero, reescribimos la función eliminando el valor absoluto. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$. Por tanto: $$f(x)=\begin{cases} x^3 - (-x) + 2 = x^3 + x + 2 & \text{si } x \lt 0,\\ x^3 - x + 2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ **Estudio de la continuidad en $x = 0$:** 1. **Valor de la función:** $f(0) = 0^3 - 0 + 2 = 2$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 + x + 2) = 2$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 - x + 2) = 2$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen sus límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de las ramas para $x \neq 0$: $$f'(x)=\begin{cases} 3x^2 + 1 & \text{si } x \lt 0,\\ 3x^2 - 1 & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 3(0)^2 + 1 = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 3(0)^2 - 1 = -1$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$ (los valores $1 \neq -1$), la función **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es continua en } x=0 \text{ pero no es derivable en } x=0}$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, cuando la función es continua pero las derivadas laterales difieren, nos encontramos ante un "punto anguloso".

**b) (1 punto) Determine los extremos relativos de $f(x)$ en la recta real.** Los extremos relativos pueden encontrarse en los puntos donde la derivada es cero o en los puntos donde la función no es derivable (en este caso $x=0$). 1. **Rama $x \lt 0$:** $f'(x) = 3x^2 + 1$. Si igualamos a cero: $3x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1/3$. No tiene solución real. En este intervalo la derivada siempre es positiva ($f'(x) \gt 0$), por lo que la función es siempre creciente. 2. **Rama $x \gt 0$:** $f'(x) = 3x^2 - 1$. Igualamos a cero: $3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Como estamos en la rama $x \gt 0$, solo tomamos el valor **$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$**. 3. **Punto de no derivabilidad:** Analizaremos el comportamiento en **$x = 0$**.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos encontrados: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, \sqrt{3}/3) & \sqrt{3}/3 & (\sqrt{3}/3, +\infty)\\\\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & +\\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máx. Rel.} & \text{Decreciente} & \text{Mín. Rel.} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En **$x = 0$**: La función pasa de crecer a decrecer. Por tanto, hay un **máximo relativo**. $f(0) = 2$. Punto: $(0, 2)$. - En **$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$**: La función pasa de decrecer a crecer. Por tanto, hay un **mínimo relativo**. $f(\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 = \frac{3\sqrt{3}}{27} - \frac{3\sqrt{3}}{9} + 2 = \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{3\sqrt{3}}{9} + 2 = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{9}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 2) \text{ y Mínimo relativo en } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 2 - \frac{2\sqrt{3}}{9}\right)}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de $f$, el eje de abcisas $y = 0$, y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.** El área viene dada por la integral definida $\int_{-1}^{1} |f(x)| dx$. Primero comprobamos si la función corta al eje $X$ ($f(x)=0$) en el intervalo $[-1, 1]$ para ver si cambia de signo: - En $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 + (-1) + 2 = 0$. (Es un punto de corte). - En $[-1, 0]$: $f(x)$ es creciente y $f(-1)=0$, luego $f(x) \ge 0$. - En $[0, 1]$: El valor mínimo es $2 - \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 1.61 \gt 0$. La función siempre es positiva. Como la función es no negativa en todo el intervalo, el área es: $$A = \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + x + 2) dx + \int_{0}^{1} (x^3 - x + 2) dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una función está definida a trozos, la integral se debe descomponer en la suma de las integrales de cada rama en sus respectivos intervalos.

Calculamos cada integral usando la regla de Barrow: **Primera integral ($I_1$):** $$\int_{-1}^{0} (x^3 + x + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0}$$ $$I_1 = 0 - \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) = - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2 \right) = - \left( \frac{3}{4} - \frac{8}{4} \right) = \frac{5}{4} u^2$$ **Segunda integral ($I_2$):** $$\int_{0}^{1} (x^3 - x + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1}$$ $$I_2 = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - 0 = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} \right) = \frac{7}{4} u^2$$ **Área total:** $$A = I_1 + I_2 = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3 u^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área } = 3 \text{ u}^2}$$