Sistemas de ecuaciones lineales con soluciones y parámetros

**a) (0.75 puntos) Encuentre un único sistema de dos ecuaciones lineales en las variables $x$ e $y$, que tenga como soluciones $\{x = 1, y = 2\}$ y $\{x = 0, y = 0\}$.** Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener: una única solución, ninguna solución o infinitas soluciones. Como el enunciado nos indica que el sistema tiene al menos dos soluciones distintas ($(1, 2)$ y $(0, 0)$), necesariamente debe tener **infinitas soluciones**. Esto ocurre cuando las ecuaciones son dependientes (proporcionales), representando la misma recta en el plano. 💡 **Tip:** Si un sistema lineal tiene más de una solución, es un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) y tiene infinitas.

Buscamos la ecuación de la recta que pasa por $(0,0)$ y $(1,2)$. La forma general es $Ax + By = C$. 1. Como pasa por $(0,0)$: $A(0) + B(0) = C \implies C = 0$. La ecuación es de la forma $Ax + By = 0$ (homogénea). 2. Como pasa por $(1,2)$: $A(1) + B(2) = 0 \implies A = -2B$. Si elegimos $B = -1$, entonces $A = 2$. La ecuación es: $$2x - y = 0$$ Para formar un sistema de dos ecuaciones con estas mismas soluciones, escribimos esta ecuación y otra proporcional a ella (por ejemplo, multiplicando por 2): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} 2x - y = 0 \\ 4x - 2y = 0 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables $x$, $y$ y $z$ cuyas soluciones sean, en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$:** $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda - 2 \\ z = \lambda - 1 \end{cases}$$ Estas son las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Para encontrar el sistema de ecuaciones lineales (forma implícita), debemos eliminar el parámetro $\lambda$. De la primera ecuación tenemos que $\lambda = x$. Sustituimos este valor en las otras dos: 1. $y = x - 2 \implies x - y = 2$ 2. $z = x - 1 \implies x - z = 1$ 💡 **Tip:** Para pasar de paramétricas a implícitas, despeja el parámetro en una variable y sustituye en las demás, o iguala las expresiones del parámetro.

El sistema buscado está formado por las dos ecuaciones obtenidas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x - y = 2 \\ x - z = 1 \end{cases}}$$

**c) (0.75 puntos) Encuentre un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, $x$ e $y$, que solo tenga como solución a $x = 1$ e $y = 2$.** Buscamos tres ecuaciones que se verifiquen para $(1, 2)$. Para que la solución sea **única**, al menos dos de las ecuaciones deben ser linealmente independientes (no proporcionales). Planteamos combinaciones sencillas que den resultados coherentes al sustituir $x=1, y=2$: 1. $x + y = 1 + 2 = 3 \implies x + y = 3$ 2. $x - y = 1 - 2 = -1 \implies x - y = -1$ 3. $2x + y = 2(1) + 2 = 4 \implies 2x + y = 4$ 💡 **Tip:** Para asegurar una solución única en un sistema con más ecuaciones que incógnitas, asegúrate de que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al número de incógnitas (en este caso, rango 2).

Verificamos que el sistema: $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$$ tiene rango 2 en su matriz de coeficientes $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante de las dos primeras filas es $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$, por lo que el rango es 2. Como el punto $(1, 2)$ satisface las tres, es la solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}}$$